מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 49

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

הוכחה ראשונה

${\frac {8^{n}-2*5^{n}+2^{n}}{18}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {8^{n}-2*5^{n}+2^{n}}{18}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8^{1}-2*5^{1}+2^{1}}{18}}=\mathbb {Z} \\&0=\mathbb {z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {8^{k}-2*5^{k}+2^{k}}{18}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {8^{k+1}-2*5^{k+1}+2^{k+1}}{18}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8^{k}*8-2*5^{k}*5+2^{k}*2}{18}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8^{k}*(6+2)-2*5^{k}*(2+3)+2^{k}*2}{18}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8^{k}*2-2*5^{k}*2+2^{k}*2}{18}}+{\frac {8^{k}*6-2*5^{k}*3}{18}}\\&{\frac {2(8^{k}-2*5^{k}+2^{k}}{18}}+{\frac {3(2*8^{k}-2*5^{k})}{18}}\\&2\mathbb {Z} +{\frac {3(2*8^{k}-2*5^{k})}{18}}\\&2\mathbb {Z} +{\frac {(2*8^{k}-2*5^{k})}{6}}\\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. ביצוע הוכחה נוספת להוכחה כי $\ P$ הוא שלם.

הוכחה שנייה

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ k=1$

${\begin{aligned}&{\frac {2*8^{k}-2*5^{k}}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2*8-2*5)}{6}}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ k=t$ טבעי

${\frac {2*8^{t}-2*5^{t}}{6}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור k=t+1

${\begin{aligned}&{\frac {2*8^{t+1}-2*5^{t+1}}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2*8^{t}*8-2*5^{t}*5}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2*8^{t}*(3+5)-2*5^{t}*5}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2*8^{t}*5-2*5^{t}*5}{6}}+{\frac {2*8^{t}*3}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2*8^{t}*5-2*5^{t}*5}{6}}+{\frac {2*8^{t}*3}{6}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {6*8^{t}}{6}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +8^{t}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה השנייה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השלישית נכונה כיוון ש-$\ t$ הוא מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי. כל מספר חיובי בחזקת מספר חיובי -> שלם.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.