10+71+72+⋯+74n−1100=Z{\displaystyle {\frac {1^{0}+7^{1}+7^{2}+\cdots +7^{4n-1}}{100}}=Z}
74n−1100=Z74−1100→10+71+72+73100=Z4=Z√{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {7^{4n-1}}{100}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{4-1}}{100}}\rightarrow {\frac {1^{0}+7^{1}+7^{2}+7^{3}}{100}}=\mathbb {Z} \\&4=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}}
10+71+72+⋯+74k−1100=Z{\displaystyle {\frac {1^{0}+7^{1}+7^{2}+\cdots +7^{4k-1}}{100}}=Z}
10+71+72+⋯+74k−1+74k+74k+1+74k+2+74k+3100=Z10+71+72+⋯+74k−1100⏟=Z+74k+74k+1+74k+2+74k+3100=ZZ+74k+74k+1+74k+2+74k+3100=Z74k(71+72+73)100=Z74k(400)100=Z4∗74k=Z{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1^{0}+7^{1}+7^{2}+\cdots +7^{4k-1}+7^{4k}+7^{4k+1}+7^{4k+2}+7^{4k+3}}{100}}=\mathbb {Z} \\&\underbrace {\frac {1^{0}+7^{1}+7^{2}+\cdots +7^{4k-1}}{100}} _{=\mathbb {Z} }+{\frac {7^{4k}+7^{4k+1}+7^{4k+2}+7^{4k+3}}{100}}=\mathbb {Z} \\&Z+{\frac {7^{4k}+7^{4k+1}+7^{4k+2}+7^{4k+3}}{100}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{4k}(7^{1}+7^{2}+7^{3})}{100}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{4k}(400)}{100}}=\mathbb {Z} \\&4*7^{4k}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}}
74k{\displaystyle \ 7^{4k}} שלם עבור K טבעי. הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.