מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 107 סעיף 73

Z - מספר שלם. בבדיקה הסימן הוא לא שווה אלא שווה ומעליו סימן שאלה.

${\frac {1+9+9^{2}+\cdots +9^{2n-1}}{10}}=Z$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {9^{2n-1}}{10}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {9^{2-1}}{10}}\rightarrow {\frac {1+9}{10}}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {1+9+9^{2}+\cdots +9^{2k-1}}{10}}=Z$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {\frac {1+9+9^{2}+\cdots +9^{2k-1}}{10}} _{=\mathbb {Z} }+{\frac {9^{2k}+9^{2k+1}}{10}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {9^{2k}+9^{2k+1}}{10}}\\&\mathbb {Z} +{\frac {9^{2k}+9^{2k}*9}{10}}\\&{\frac {9^{2k}*(9+1)}{10}}\\&{\frac {9^{2k}*10}{10}}\\&9^{2}k=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה על פי ההנחה
2. $\ 9^{2k}$ שלם עבור K טבעי.
   

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.