מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 107 סעיף 74

Z - מספר שלם. בבדיקה הסימן הוא לא שווה אלא שווה ומעליו סימן שאלה.

${\frac {5^{n}+(-1)^{n+1}}{6}}=Z$

$\ n$ זוגי עבור $\ (-1)^{n+1}=-1$ הביטוי שנקבל

${\frac {5^{n}-1}{6}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=2$

${\begin{aligned}&{\frac {5^{n}-1}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {5^{1}-1}{6}}\rightarrow {\frac {24}{6}}=\mathbb {Z} \\&8=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {5^{k}-1}{6}}=Z$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+2

${\begin{aligned}&{\frac {5^{k+2}-1}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {5^{k}*5^{2}-1}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {5^{k}*(24+1)-1}{6}}=\mathbb {Z} \\&\underbrace {\frac {5^{k}-1}{6}} _{=\mathbb {Z} }+{\frac {5^{k}*(24)}{6}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +4*5^{k}\\&\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה על פי ההנחה
2. $\ 5^{k}$ שלם עבור K טבעי.
   

$\ n$אי זוגי

${\frac {5^{n}+1}{6}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {5^{n}+1}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {5^{1}+1}{6}}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {5^{k}+1}{6}}=Z$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+2

${\begin{aligned}&{\frac {5^{k+2}+1}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {5^{k}*5^{2}+1}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {5^{k}*(24+1)+1}{6}}=\mathbb {Z} \\&\underbrace {\frac {5^{k}+1}{6}} _{=\mathbb {Z} }+{\frac {5^{k}*(24)}{6}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +4*5^{k}\\&\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה על פי ההנחה
2. $\ 5^{k}$ שלם עבור K טבעי.
   

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.