מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 107 סעיף 75

Z - מספר שלם. בבדיקה הסימן הוא לא שווה אלא שווה ומעליו סימן שאלה.

${\frac {7^{2n}+(-1)^{n+1}}{50}}=Z$

$\ n$ זוגי עבור $\ (-1)^{n+1}=-1$ הביטוי שנקבל

${\frac {7^{2n}-1}{50}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=2$

${\begin{aligned}&{\frac {7^{2n}-1}{50}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{2}-1}{50}}=\mathbb {Z} \\&48=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {7^{2k}-1}{50}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+2

${\begin{aligned}&{\frac {7^{2k+4}-1}{50}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{2k}*7^{4}-1}{50}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{2k}*(2400+1)-1}{50}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{2k}*2400}{50}}+{\frac {7^{2k}-1}{50}}=\mathbb {Z} \\&7^{2k}*48+\underbrace {\frac {7^{2k}-1}{50}} _{=\mathbb {Z} }=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה על פי ההנחה.
2. $\ 7^{2k}$ שלם עבור K טבעי.
   

$\ n$ אי זוגי עבור $\ (-1)^{n+1}=1$ הביטוי שנקבל

${\frac {7^{2n}+1}{50}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=2$

${\begin{aligned}&{\frac {7^{2n}+1}{50}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{2}+1}{50}}=\mathbb {Z} \\&50=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {7^{2k}+1}{50}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+2

${\begin{aligned}&{\frac {7^{2k+4}+1}{50}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{2k}*7^{4}+1}{50}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{2k}*(2400+1)+1}{50}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{2k}*2400}{50}}+{\frac {7^{2k}+1}{50}}=\mathbb {Z} \\&7^{2k}*48+\underbrace {\frac {7^{2k}+1}{50}} _{=\mathbb {Z} }=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה על פי ההנחה.
2. $\ 7^{2k}$ שלם עבור K טבעי.
   

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.