מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 110 סעיף 21

${\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {1}{n!}}\leq 2-{\frac {1}{n}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}L:{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}=1\\R:2-{\frac {1}{n}}=2-1=1\\1=1\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {1}{k!}}\leq 2-{\frac {1}{k}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {1}{k!}}} _{=(enoughtosay)2-{\frac {1}{k}}}+{\frac {1}{(k+1)!}}\leq 2-{\frac {1}{k+1}}\\&2-{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{(k+1)!}}\leq 2-{\frac {1}{k+1}}/+{\frac {1}{k}}\\&{\frac {1}{(k+1)!}}\leq -{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k}}/*(k+1)!\\&\color {red}{\frac {k!}{k+1}}={\frac {1*2*3*\cdots *(k-1)*k*(k+1)}{k+1}}=1*2*3*\cdots *(k-1)*k=k!\\&\color {red}{\frac {k!}{k}}={\frac {1*2*3*\cdots *(k-1)\not {k}(k+1)}{\not {k}}}=1*2*3*\cdots *(k-1)*(k+1)=(k-1)!(k+1)\\&\downarrow \\&1\leq -k!+(k-1)!(k+1)/(change-places)\\&1\leq (k-1)!(k+1)-k!\\&open-brackets:(k-1)!(k+1)=(k-1)!\times k+(k-1)!\times 1=k(k-1)!+(k-1)!\\&\downarrow \\&1\leq k(k-1)!+(k-1)!-k!\\&1\leq k!+(k+1)!-k!\\&1\leq (k-1)!\\&1\leq 1*2*3*\cdots *(k-1)\\\end{aligned}}$

הביטוי ${\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {1}{k!}}\leq 2-{\frac {1}{k}}$ נכון עבור כל $\ n$ טבעי החל מ$\ n=1$ על פי 3 שלבי האינדוקציה.