מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 110 סעיף 24

${\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{3n+1}}>1$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}L:{\frac {1}{n+1}}={\frac {1}{4}}\rightarrow {\frac {1}{1+1}}+{\frac {1}{1+2}}+{\frac {1}{1+3}}=1{\frac {1}{9}}\\R:1\\1{\frac {1}{9}}>1\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k+2}}+\cdots +{\frac {1}{3k+1}}>1$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {{\frac {1}{k+2}}+{\frac {1}{k+3}}+\cdots +{\frac {1}{3k+1}}} _{=(enoughtosay)1-{\frac {1}{k+1}}}+{\frac {1}{3k+2}}+{\frac {1}{3k+3}}+{\frac {1}{3k+4}}>1\\&1-{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{3k+2}}+{\frac {1}{3k+3}}+{\frac {1}{3k+4}}>1\\&-{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{3k+2}}+{\frac {1}{3k+3}}+{\frac {1}{3k+4}}>0\\&\downarrow \\&-3(3k+2)(3k+4)+3(k+1)(3k+4)+(3k+2)(3k+4)+3(k+1)(3k+2>0\\&-27k^{2}-54k-24+9k^{2}+21k+12+9k^{2}+18k+8+9k^{2}+15k+10>0\\&6>0\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה על על פי שלבי האינדוקציה.

1. חץ ראשון - המכנים חיובים כיוון ש-K טבעי ולכן ניתן לבטלם.