1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + ⋯ + n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 {\displaystyle 1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}}
בדיקה נכונות הטענה עבור n = 1 {\displaystyle \ n=1}
עריכה
L : n ( n + 1 ) = 1 ∗ 2 = 2 R : n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 = 6 3 = 2 2 = 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&L:n(n+1)=1*2=2\\&R:{\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}={\frac {6}{3}}=2\\&2=2\\\end{aligned}}}
נניח כי הטענה נכונה עבור n = k {\displaystyle \ n=k} טבעי
עריכה
1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + ⋯ + k ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) ( k + 2 ) 3 {\displaystyle 1*2+2*3+3*4+\cdots +k(k+1)={\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}}
נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1
עריכה
1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + ⋯ + k ( k + 1 ) ⏟ = k ( k + 1 ) ( k + 2 ) 3 + ( k + 1 ) ( k + 2 ) = ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) 3 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) 3 + ( k + 1 ) ( k + 2 ) = ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) 3 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) + 3 ( k + 1 ) ( k + 2 ) = ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) / : ( k + 1 ) ( k + 2 ) k + 3 = k + 3 {\displaystyle {\begin{aligned}&\underbrace {1*2+2*3+3*4+\cdots +k(k+1)} _{={\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}}+(k+1)(k+2)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}\\&{\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}+(k+1)(k+2)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}\\&k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)/:(k+1)(k+2)\\&k+3=k+3\\\end{aligned}}}
האינדוקציה נכונה על פי 3 שלבי האינדוקציה.
ב - מצאת סכום
עריכה
הסדרה : ( n + 1 ) ( n + 2 ) + ( n + 2 ) ( n + 3 ) + ( n + 3 ) ( n + 4 ) + ⋯ + 2 n ( 2 n + 1 ) {\displaystyle (n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)} היא סדרת ההמשך של הסדרה 1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + ⋯ + n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 {\displaystyle 1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}}
ולכן, אפשר לקרוא לה : a 2 n = ( n + 1 ) ( n + 2 ) + ( n + 2 ) ( n + 3 ) + ( n + 3 ) ( n + 4 ) + ⋯ + 2 n ( 2 n + 1 ) {\displaystyle a_{2n}=(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)}
הסדרה המלא :
a n = 1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + ⋯ + n ( n + 1 ) + ( n + 1 ) ( n + 2 ) + ( n + 2 ) ( n + 3 ) + ( n + 3 ) ( n + 4 ) + ⋯ + 2 n ( 2 n + 1 ) a 1 n = 1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + ⋯ + n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 a 2 n = ( n + 1 ) ( n + 2 ) + ( n + 2 ) ( n + 3 ) + ( n + 3 ) ( n + 4 ) + ⋯ + 2 n ( 2 n + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&an=1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)+{\color {green}(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)}\\&a_{1n}=1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}\\&a_{2n}=(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)\\\end{aligned}}}
לפיכך, אם נפחית את הסדרה פחות הסדרה הראשונה ( S a n − S 1 a n = S 2 a n {\displaystyle \ S_{an}-S_{1an}=S_{2an}} ) נוכל למצוא את הסכום של הסדרה השנייה.
הדבר דומה לאם הייתה לנו את הסדרה : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = ? {\displaystyle \ 1+2+3+4+5+6+7=?} והיינו רוצים את סכום הסדרה החל ממספר 4, היינו מורידים את הסכום של כל הסדרה, פחות כל הסדרה הראשונה : 1+2+3 ומקבלים את הסדרה השנייה.
נרשום את הנאמר בשפת המתמטיקה : a n − a 1 n = 1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + ⋯ + n ( n + 1 ) + ( n + 1 ) ( n + 2 ) + ( n + 2 ) ( n + 3 ) + ( n + 3 ) ( n + 4 ) + ⋯ + 2 n ( 2 n + 1 ) − 1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + ⋯ + n ( n + 1 ) {\displaystyle an-a_{1n}={\color {green}1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)+{\color {green}(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)}}-1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)}
אנו יודעים (על פי תרגיל א') שסכום הסדרה הראשונה שווה ל :
1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + ⋯ + n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 {\displaystyle 1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)={\color {blue}{\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}}}
אנו רוצים למצוא את סכום כל הסדרה כולל ( a n {\displaystyle \ an} ), נמצא אותו באמצעות הצבת האיבר האחרון של הסדרה a n {\displaystyle \ an} בתבנית הסכום של הסדרה a 1 n {\displaystyle \ a_{1}n}
(n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 {\displaystyle {\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}} ).
שכן, מדובר באותה סדרה ולפיכך, אופן חישוב הסכום זהה. הפעולה אולי נשמעת קשה, אך, היא פשוטה למדי, כל שעלינו לעשות הוא להציב 2n במקום 1n (n).
סכום הסדרה הכוללת הוא :S 2 a n = 2 n ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) 3 {\displaystyle S_{2an}=\color {green}{\frac {2n(2n+1)(2n+2)}{3}}} .
נציב את סכומי הסדרות :
2 n ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) 3 − n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 {\displaystyle {\color {green}{\frac {2n(2n+1)(2n+2)}{3}}}-{\color {blue}{\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}}}
ועתה נשאר רק לפתור :2 n ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) 3 − n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 2 n ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) − n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 2 n ( 2 n + 1 ) 2 ( n + 1 ) − n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 [ n ( n + 1 ) ] [ 4 ( 2 n + 1 ) − ( n + 2 ) ] 3 n ( n + 1 ) ( 8 n + 4 − n − 2 ) 3 n ( n + 1 ) ( 7 n − 2 ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\color {green}{\frac {2n(2n+1)(2n+2)}{3}}}-{\color {blue}{\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}}\\&{\frac {2n(2n+1)(2n+2)-n(n+1)(n+2)}{3}}\\&{\frac {2n(2n+1)2(n+1)-n(n+1)(n+2)}{3}}\\&{\frac {[n(n+1)][4(2n+1)-(n+2)]}{3}}\\&{\frac {n(n+1)(8n+4-n-2)}{3}}\\&{\frac {n(n+1)(7n-2)}{3}}\\\end{aligned}}}
( n + 1 ) ( n + 2 ) + ( n + 2 ) ( n + 3 ) + ( n + 3 ) ( n + 4 ) + ⋯ + 2 n ( 2 n + 1 ) = n ( n + 1 ) ( 7 n − 2 ) 3 {\displaystyle (n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)={\frac {n(n+1)(7n-2)}{3}}}
בדיקה נכונות הטענה עבור n = 1 {\displaystyle \ n=1}
עריכה
L : 2 n ( 2 n + 1 ) = 2 ∗ 1 ( 2 ∗ 1 + 1 ) → ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 6 R : n ( n + 1 ) ( 7 n − 2 ) 3 = 6 6 = 6 {\displaystyle {\begin{aligned}&L:2n(2n+1)=2*1(2*1+1)\rightarrow (n+1)(n+2)=6\\&R:{\frac {n(n+1)(7n-2)}{3}}=6\\&6=6\\\end{aligned}}}
נניח כי הטענה נכונה עבור n = k {\displaystyle \ n=k} טבעי
עריכה
( k + 1 ) ( k + 2 ) + ( k + 2 ) ( k + 3 ) + ( k + 3 ) ( k + 4 ) + ⋯ + 2 k ( 2 k + 1 ) = k ( k + 1 ) ( 7 k + 2 ) 3 {\displaystyle (k+1)(k+2)+(k+2)(k+3)+(k+3)(k+4)+\cdots +2k(2k+1)={\frac {k(k+1)(7k+2)}{3}}}
נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1
עריכה
( k + 2 ) ( k + 3 ) + ( k + 3 ) ( k + 4 ) + ⋯ + 2 k ( 2 k + 1 ) ⏟ = k ( k + 1 ) ( 7 k − 2 ) 3 − ( k + 10 ( k + 2 ) + ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 2 ) + ( 2 k + 2 ) ( 2 k + 3 ) = ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 7 k + 9 ) 3 k ( k + 1 ) ( 7 k − 2 ) 3 − ( k + 1 ) ( k + 2 ) + ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 2 ) + ( 2 k + 2 ) ( 2 k + 3 ) = ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 7 k + 9 ) 3 k ( k + 1 ) ( 7 k + 2 ) − 3 ( k + 1 ) ( k + 2 ) + 6 ( 2 k + 1 ) ( k + 1 ) + 6 ( k + 1 ) ( 2 k + 3 ) = ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 7 k + 9 ) / : ( k + 1 ) k ( 7 k + 2 ) − 3 ( k + 2 ) + 6 ( 2 k + 1 ) + 6 ( 2 k + 3 ) = ( k + 2 ) ( 7 k + 9 ) 7 k 2 + 2 k − 3 k − 6 + 12 k + 6 + 12 k + 18 = 7 k 2 + 9 k + 14 k + 18 7 k 2 + 23 k + 18 = 7 k 2 + 23 k + 18 0 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\underbrace {(k+2)(k+3)+(k+3)(k+4)+\cdots +2k(2k+1)} _{={\frac {k(k+1)(7k-2)}{3}}-(k+10(k+2)}+(2k+1)(2k+2)+(2k+2)(2k+3)={\frac {(k+1)(k+2)(7k+9)}{3}}\\&{\frac {k(k+1)(7k-2)}{3}}-(k+1)(k+2)+(2k+1)(2k+2)+(2k+2)(2k+3)={\frac {(k+1)(k+2)(7k+9)}{3}}\\&k(k+1)(7k+2)-3(k+1)(k+2)+6(2k+1)(k+1)+6(k+1)(2k+3)=(k+1)(k+2)(7k+9)/:(k+1)\\&k(7k+2)-3(k+2)+6(2k+1)+6(2k+3)=(k+2)(7k+9)\\&7k^{2}+2k-3k-6+12k+6+12k+18=7k^{2}+9k+14k+18\\&7k^{2}+23k+18=7k^{2}+23k+18\\&0=0\\&\end{aligned}}}
האינדוקציה נכונה על פי 3 שלבי האינדוקציה.