מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 15 סעיף 6

שאלה

המרחק מ-A ו-B מרוחקים 100 ק"מ. B נמצאת מזרחה ל-A. שני רכבים יוצאים בו זמנית מ-A ומ-B לכיוון מזרח במהירויות קבועות. הם נפגשים אחרי 10 שעות. ידוע שהרכב שיצא מ-B עובר 4 ק"מ ב-2 דקות יותר מהרכב שיצא מ-A.

פתרון

סוג: שתי טבלאות נתונים :

נתון א'

1. רוכב A ו-B נסעו לכיוון C ונפגשו כעבור 10 שעות.
2. רוכב B עבר 4 ק"מ ב-2 דקות יותר מרוכב A.
3. $V_{A}>V_{B}$

טבלה א'

רוכב A ו-B נסעו לכיוון C ונפגשו כעבור 10 שעות.

	זמן (t)	מהירות (V)	דרך (S)
A	10	$\color {Blue}V_{A}={\frac {S+100}{10}}$	S+100
B	10	$\color {Blue}V_{B}={\frac {S}{10}}$	S

טבלה ב'

רוכב B עבר 4 ק"מ ב-2 דקות יותר מרוכב A.

	זמן (t)	מהירות (V)	דרך (S)
A	t	$\color {Blue}V_{A}={\frac {4}{t}}$	4
B	$t+{\frac {1}{30}}$	$\color {Blue}V_{b}={\frac {4}{t+{\frac {1}{30}}}}$	4

השוואת משוואות

${\begin{aligned}&\color {blue}V_{A}=V_{A}\\&{\frac {S+100}{10}}={\frac {4}{t}}\\&t(s+100)=40\\&t={\frac {40}{S+100}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\color {blue}V_{B}=V_{B}\\&{\frac {S}{10}}={\frac {4}{t+{\frac {1}{30}}}}\\&{\frac {S(t+{\frac {1}{30}}}{10}}=4\\&{\frac {s({\frac {30t+1}{30}})}{10}}=4\\&{\frac {s(30t+1)}{300}}=4\\&30ts+s=1,200\\\end{aligned}}$

נציב את פתרון משוואה א' במשוואה ב' : $t={\frac {40}{S+100}}$


${\begin{aligned}&30ts+s=1,200\\&{\frac {30*40}{S+100}}*S+S=1,200\\&{\frac {1,200S}{S+100}}+S=1,200\\&1,200S+S(S+100)=1,200(S+100)\\&1,200S+S^{2}+100S=1,200S+120,000\\&S^{2}+100S-120,000=0\\&S_{1,2}={\frac {-100\pm {\sqrt {100^{2}+4*120'000}}}{2}}\\&{\frac {-100\pm {700}}{2}}\\&S_{1}=300,S_{2}=-400\\\end{aligned}}$

נמצא את מהירויות :

${\begin{aligned}&V_{A}={\frac {S+100}{10}}={\frac {400}{10}}=40km\\&V_{B}={\frac {S}{10}}={\frac {300}{10}}=30km\\&V_{A}>V_{B}\end{aligned}}$