נתון: 1 − t a n 2 a = t {\displaystyle 1-tan^{2}a=t} בטא בעזרת t {\displaystyle t} את c o s 2 a − s i n 2 a {\displaystyle cos^{2}a-sin^{2}a}
1 + t g 2 α = 2 − t {\displaystyle 1+tg^{2}\alpha =2-t}
ניצב את הזהות 1 + t g 2 α = 1 c o s 2 α {\displaystyle 1+tg^{2}\alpha ={\frac {1}{cos^{2}\alpha }}}
נקבל 1 + t g 2 α = 1 c o s 2 α = 2 − t ⇒ c o s 2 α = 1 2 − t ⇒ s i n 2 α = 1 − c o s 2 α = 1 − 1 2 − t {\displaystyle 1+tg^{2}\alpha ={\frac {1}{cos^{2}\alpha }}=2-t\Rightarrow cos^{2}\alpha ={\frac {1}{2-t}}\Rightarrow sin^{2}\alpha =1-cos^{2}\alpha =1-{\frac {1}{2-t}}}
לכן c o s 2 α − s i n 2 α = 1 2 − t − ( 1 − 1 2 − t ) = 2 2 − t − 1 = 2 − ( 2 − t ) 2 − t = t 2 − t {\displaystyle cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha ={\frac {1}{2-t}}-\left(1-{\frac {1}{2-t}}\right)={\frac {2}{2-t}}-1={\frac {2-\left(2-t\right)}{2-t}}={\frac {t}{2-t}}}
נעזר בזהויות:
1 − t a n 2 a = t 1 + t a n 2 a = 1 + 1 − t = 2 − t {\displaystyle 1-tan^{2}a=t\ \ \ \ \ \ \ 1+tan^{2}a=1+1-t=2-t\ \ \ \ \ }
c o s 2 a − s i n 2 a = t 2 − t {\displaystyle cos^{2}a-sin^{2}a={\frac {t}{2-t}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ }
