מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 511 סעיף 22
נתונה הפונקציה לפונקציה יש נקודות קיצון ב-.
- מצא את
- עבור הערך של שמצאת בסעיף א' חקור את הפונקציה ומצא : תחום הגדרה וחיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה, אסימפטוטות המקבילות לצירים
- שרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
- היא פונקציה שמקיימת . מצא על פי החקירה של את הנקודות בהן הנגזרת של מתאפסת.
סעיף א עריכה
נבצע גזירה של הפונקציה על פי נגזרת של פונקצית שבר מורכבת עם פונקצית חזקה (מנת פונקציות)
ונקבל
נשווה לאפס ונציב :
נצמצם
נקבל
סעיף ב עריכה
נצבע חקירה לפונקציה
תחום הגדרה עריכה
חיתוך עם ציר ה- עריכה
נקודות החיתוך הם
חיתוך עם ציר ה- עריכה
נקודות קיצון עריכה
נגזרת מצאו בתחילת התרגיל, נציב בה את אלפא,
נשווה את הנגזרת לאפס,
נוציא מכנה משותף,
נצמצם,
קיימת נקודת קיצון אחת, .
נמצא את ערך ה- של נקודת הקיצון באמצעות הצבת ערך ה-X בפונקציה:
נקודת הקיצון הינה
[נקבע את סוג הנקודה בגרף]
תחומי עלייה וירידה עריכה
ירידה:
עליה:
אסימפטוטות X עריכה
לאחר שבדקנו כי ערכים בהן הפונקציה אינה עוברת אינו מאפס גם את המונה, ניתן לקבוע כי האסימפטוטות הן
אסימפטוטה Y עריכה
מאחר שבמונה ובמכנה יש חזקות בעלות אותו גודל, האסימפטוטה היא 1.
נבדוק חיתוך עם הפונקציה:
נקבל אין
גרף עריכה
למרות שאנו יודעים כי הפונקציה בצדו השמאלי של הגרף יורדת (מפני שהיא עוברת דרך ראשית הצירים), תמיד טוב לבדוק את ערכי הפונקציה לפני ואחרי נקודות הקיצון והאימפטוטת.
7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | x |
---|
סעיף ד עריכה
נפתח את הפונקציה
נעזר במכפלה של שתי פונקציות
נשווה לאפס כדי למצוא את נקודות החיתוך של :
נחלק בשנים :
אנו יודעים את הפתרונות של משוואות אלו. הערכים של הפונקציה השווה לאפס הם וערכי הנגזרת השווה לאפס הוא .
נמצא את ערכי ה- באמצעות הצבה ב- ונקבל :