מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 96 סעיף 83

$({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}})({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}})*\cdots *({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}})={\frac {n+1}{n!}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}L:{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1^{2}}}=2\\R:{\frac {n+1}{n!}}={\frac {1+1}{1!}}={\frac {1+1}{1}}=2\\2=2\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}})({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}})*\cdots *({\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k^{2}}})={\frac {k+1}{k!}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}})({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}})*\cdots *({\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k^{2}}})*({\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{(k+1)^{2}}})={\frac {k+1+1}{(k+1)!}}\\&\underbrace {({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}})({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}})*\cdots *({\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k^{2}}})} _{={\frac {k+1}{k!}}}*({\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{(k+1)^{2}}})={\frac {k+1+1}{(k+1)!}}\\&{\frac {k+1}{k!}}*({\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{(k+1)^{2}}})={\frac {k+2}{(k+1)!}}\\&{\frac {k+1}{k!}}*({\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{(k+1)^{2}}})={\frac {k+2}{(k+1)!}}\\&{\frac {k+1}{k!}}*({\frac {k+1+1}{(k+1)^{2}}})={\frac {k+2}{(k+1)!}}\\&{\frac {k+1}{k!}}*{\frac {k+2}{(k+1)^{2}}}={\frac {k+2}{(k+1)!}}\\&{\frac {1}{k!}}*{\frac {k+2}{(k+1)}}={\frac {k+2}{(k+1)!}}\\&k!=1*2*3*\cdots *k\\&(k+1)!=1*2*3*\cdots *k*(k+1)\\&{\frac {k+2}{(k+1)!}}={\frac {k+2}{(k+1)!}}\\\end{aligned}}$

האידוקציה נכון עבור כל $\ n$ טבעי החל מ$\ n=1$ על פי 3 שלבי האינדוקציה.