מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 99 סעיף 19

$1*1-4*2+\cdots +(3n-2)(-2)^{n-1}={\frac {1}{3}}[(-2)^{n}(1-3n)-1]$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=2$

${\begin{aligned}&L:(3n-2)(-2)^{n-1}=(6-2)(-2)^{1}=4*(-2)^{1}\rightarrow 1*1-4*2=-7\\&R:{\frac {1}{3}}[(-2)^{n}(1-3n)-1]={\frac {1}{3}}[(-2)^{2}(1-3*2)-1]=-7\\&-7=-7\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$1*1-4*2+\cdots +(3k-2)(-2)^{k-1}={\frac {1}{3}}[(-2)^{k}(1-3k)-1]$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+2

${\begin{aligned}&\underbrace {1*1-4*2+\cdots +(3k-2)(-2)^{k-1}} _{={\frac {1}{3}}[(-2)^{k}(1-3k)-1]}+(3k+1)(-2)^{k}+(3k+4)(-2)^{k+1}={\frac {1}{3}}[(-2)^{k+2}(1-3k-6)-1]\\&{\frac {1}{3}}[(-2)^{k}(1-3k)-1]+(3k+1)(-2)^{k}+(3k+4)(-2)^{k+1}={\frac {1}{3}}[(-2)^{k+2}(1-3k-6)-1]\\&(-2)^{k}(1-3k)-1+3(3k+1)(-2)^{k}+3(3k+4)(-2)^{k+1}=(-2)^{k+2}(1-3k-6)-1\\&(-2)^{k}(1-3k)+3(3k+1)(-2)^{k}-3(3k+4)(-2)^{k}=(-2)^{k}(-3k-5)\\&(1-3k)+3(3k+1)-3(3k+4)=(-3k-5)\\&-3k+1+9k+3-9k-12=-3k-5\\&-3k-8=-3k-5\\&0=0\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.