מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 795 סעיף 11

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $y={\frac {xe^{x}}{3x-4}}$.

נמצא את תחום ההגדרה $3x\neq 4$ כלומר $x\neq {\frac {4}{3}}$

נעזר בנגזרת של מנת פונקציות ותחילה נגזור כל פונקציה בנפרד:

הפונקציה במונה היא מנה של פונקציות (דהינו הנגזרת הינה $f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)$) ולכן שוב נפרק ונגזור בנפרד

הנגזרת של $x$ היא $1$.

הנגזרת של $e^{x}$ היא $e^{x}$.

לסיכום נקבל $y'(xe^{x})'=1*e^{x}+x*xe^{x}$

הנגזרת של המכנה $3$

לסיכום הנגזרת הכוללת ${\frac {(e^{x}+xe^{x})(3x-4)-3xe^{x}}{(3x-4)^{2}}}$

נפתח את הנגזרת, ${\frac {3xe^{x}-4e^{x}+3x^{2}e^{x}-4xe^{x}-3xe^{x}}{(3x-4)^{2}}}$

נצמצם, ${\frac {-4e^{x}+3x^{2}e^{x}-4xe^{x}}{(3x-4)^{2}}}=0$

נשווה לאפס, $-4e^{x}+3x^{2}e^{x}-4xe^{x}=0$

נוציא גורם משותף, $e^{x}[-4+3x^{2}-4x]=0$

נצמצם ב-$e^{x}>0$ ונקבל $3x^{2}-4x-4=0$

נעזר בנוסחת השורשים ${\frac {4\pm {\sqrt {16+4*4*3}}}{6}}$

ונקבל $x_{1}=2,\ \ \ x_{2}={\frac {-2}{3}}$

ניצור פרבולה מחייכת כשבצדדיה ערכי ה-$x$ לעיל ובמרכזה תחום ההגדרה.

פתרונות:

עולה: $x>2;x<{\frac {-2}{3}}$

יורדת: ${\frac {-2}{3}}<x<{\frac {4}{3}}$, ${\frac {3}{4}}<x<2$