מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 804 תרגיל 45

נתונה הפונקציה : $y={\frac {e^{-ax}}{x-1}}$ , $a>0$

1. הבע באמצעות $a$ את השיעורים של נקודת הקיצון וקבע את סוגה.
2. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה
3. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
4. הבע באמצעות $a$ את ערכי k עבורם הישר y=k לא חותך את הפונקציה.

סעיף 1

נמצא את הנגזרת לפונקציה מנה ומעריכית $y={\frac {e^{-ax}}{x-1}}$

כדי לא להתבלבל נגזור כל אחת מהפונקציות, במונה ובמכנה נפרד ולאחר מכן נעזר בכלל הגזירה של מנת פונקציות.

הנגזרת של פונקציית המונה על פי הכלל $\ (e^{f(x)})'=e^{f(x)}*f'(x)$ נקבל: $(e^{-ax})'=e^{-ax}*-a$

הנגזרת של פונקציית המכנה : $[(x-1)]'=1$

${\begin{aligned}y'={\frac {-a*e^{-ax}(x-1)-e^{-ax}}{(x-1)^{2}}}=0\\e^{-ax}[-a(x-1)-1]=0\\\end{aligned}}$

$e^{-ax}$ תמיד חיובי

${\begin{aligned}-ax+a-1=0\\ax=a-1\\x={\frac {a-1}{a}}\end{aligned}}$

נמצא את ערך ה- $y$: $y={\frac {e^{-a*{\frac {a-1}{a}}}}{{\frac {a-1}{a}}-1}}={\frac {e^{-(a-1)}}{\frac {a-1-a}{a}}}={\frac {e^{-(a-1)}}{\frac {-1}{a}}}=-a*e^{-(a-1)}$

בכדי לקבוע את סוגן נבצע נגזרת שנייה עבור הביטוי $-ax+a-1$ (המונה תמיד חיובי וגם הביטוי $e^{-ax}$)

הנגזרת המתקבלת היא $y''=-a$. מאחר ש-$a$ תמיד חיובי (על פי הנתונים), הנגזרת השנייה שלילית ולכן הנקודה היא נקודת מקסימום.

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.