פיזיקה קוונטית/הסקה של הדינמיקה הקוונטית (משוואת שרנדינגר) מתוך סמטריות גלילאי

בערך זה תוצג הסקה (derivation) של משוואת שרנדינגר מתוך סמטריות גאלילי.
הסקה זו מבוססת על Ballentine L. - Quantum Mechanics - a Modern Development, Ch.3, ספר שפרק זה בו מבוסס בחלקו על מאמר של T. F. Jordan משנת 1975.

סמטריה

הגדרת המושג סימטריה בפיסיקה הינה אי-שינוי (שימור) של גודל מסוים, עם שינוי של גודל אחר.
לדוגמא, מרחק היקף המעגל ממרכזו אינו תלוי, ולא ישתנה עם שינוי של הזווית בה נערכת המדידה. במקרה זה נאמר שמרחק היקף המעגל מן המרכז הינו גודל שמור ביחס לסיבוב של זווית המדידה. הסמטריה הינה שימור גודל הרדיוס, ביחס לזווית המדידה.
דוגאמאות נוספות:

1. על תנע נאמר שהוא "סימטרי במקום". מה זאת אומרת? זה אומר, שאם נבצע ניסוי מסויים במקום אחד, ולאחר מכן נבצע בדיוק את אותו הניסוי במקום אחר - התנע בכל רגע במהלך הניסוי הראשון יהיה שווה לתנע בכל רגע במהלך הניסוי השני. במקרה כזה, נגיד שיש סימטריה במיקום ביחס לתנע, או שהתנע הוא אינווריאנטי תחת המיקום (invariant, כלומר לא משתנה).
2. בדיוק באותה הצורה, נאמר על אנרגיה שהיא אינווארינטית בזמן, או אינווריאנטית תחת הזמן.

• למידע נוסף על סמטריה ועל הגדרת גדלים ניתן לעיין בקורס מכניקה אנליטית.

סמטריות גלילאי

סמטריות אלה הן סמטריות המייצגות את חוסר השינוי של חוקי הפיסיקה ביחס לשינוי בתנועתה של מערכת המדידה, ונובעות מטרנספורמצית גלילי.
טרנספומציות גלילאי:

• הזזה של מערכת הצירים
• סיבוב של מערכת הצירים המשמשת למדידה
• תנועה במהירות קצובה
• שינוי בזמן

נאמר שהמערכת סמטרית (או אינווריאנטית) תחת טרנספורמציות אלה אם נקבל את אותן התחזיות מתוך משוואות התאוריה. במילים אחרות, אם קשרים מסויימים נשמרים תחת הטרנספורמציות.
למשל,ביחסות פרטית, הגודל $\ x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}$ הוא אינווריאנטי (סמטרי) תחת טרנספורמצית לורנץ. (הדגמה של מכניקה קלאסית (אפשרויות: החוק השני? תנע זוויתי?)
הסט של טרנספורמציות אלו נקרא חבורת גלילאי (למידע על חבורה).
באופן מתמטי, ניתן לייצג את טרנספורמצית גלילאי הכללית ביותר על קורדינטות המקום-זמן (הארבע וקטור) כך:
$\ {\vec {x}}\rightarrow {\vec {x'}}={\hat {R}}{\vec {x}}+{\vec {a}}+{\vec {v}}t$
$\ t\rightarrow t'=t+s$
כאשר
$\ {\hat {R}}$ הינו מטריצה המייצגת טרנספורמצית סיבוב,
$\ {\vec {a}}$ מייצג הזזה במרחב בין שתי המערכות ברגע t=0,
$\ {\vec {v}}$ מהירות קבועה של מערכת קו' השניה ביחס לראשונה,
ו-$\ s$ טרנספורמציה במדידת הזמן (לדוגמא עבור s=1 hour - כשבמערכת מספר 1 השעה 12, במערכת מספר 2 השעה 13).

סמטריה במכניקת הקוונטים

עבור כל טרנספורמצית זמן-מרחב, כמו אלו המוצגות לעיל, מתקיימת טרנספורמציה עבור הגדלים המדידים (Observables) ועבור המצבים העצמיים (הגדלים המסומנים ב- $\ '$ מסמנים את הגדלים אחרי הטרנספורמציה):
$\ A\rightarrow A'$ ,$\ |\psi \rangle \rightarrow |\psi '\rangle$
המשמעות של קיום סמטריה של חוקי הטבע תחת טרנספורמציה ניתנת לניסוח על ידי קיום של הדרישות הבאות:

א) $\ A'|\phi _{n}'\rangle =a_{n}|\phi _{n}'\rangle$ כאשר $\ A|\phi _{n}\rangle =a_{n}|\phi _{n}\rangle$.
כלומר הטרנספורמציה לא תשפיע על ספקטרום הערכים הנצפים של הגודל הנמדד.
ב) כאשר $\ |\psi \rangle =\sum c_{n}|\phi _{n}\rangle$ הינו וקטור מצב, ו- $\ \left\{\phi _{n}\right\}$ הינם מצבים עצמיים של הגודל $\ A$ וכן
$\ |\psi '\rangle =\sum c_{n}'|\phi _{n}'\rangle$ הינו וקטור מצב, ו- $\ \left\{\phi _{n}'\right\}$ הינם מצבים עצמיים של הגודל $\ A'$
נדרוש כי $\ |c_{n}'|^{2}=|c_{n}|^{2}$, המקביל לדרישה $\ \left|\langle \phi _{n}'|\psi '\rangle \right|^{2}=\left|\langle \phi _{n}|\psi \rangle \right|^{2}$
כלומר אנו דורשים שההסתברות לקבל את הערכים הנצפים לא תשתנה עם ביצוע הטרנספורמציה.

• כדאי לשים לב כי שתי דרישות אלו מסכמות למעשה את סך המידע שיכול להתקבל מתוך חוקי מכניקת הקוונטים. שימור של תוצאות אלו מהווה שימור של תחזיות של התורה, כלומר שימור של חוקיה, תחת טרנספורמציה מסוימת.

משפט ויגנר (Wigner)

ניתן לשאול איזה טרנספורמציות מקיימות את הדרישות הללו.
ובכן, על פי משפט ויגנר, כל טרנספורמציה שממפה מרחב וקטורי מסוים אל עצמו כך ש $\ \left|\langle \phi _{n}|\psi \rangle \right|$ נשמר, היא טרנספורמציה הנתנת לייצוג על ידי אופרטור יוניטרי (לינארי) או אנטי-יוניטרי (אנטילינארי). טרנספורמציה כזו מכונה טרנספורמציה יוניטרית (לינארית) או אנטי-יוניטרית (אנטילינארית) בהתאמה.
האופרטור מייצג את הטרנספורמציה על מרחב המצבים העצמיים כך:
$\ |\phi _{n}\rangle \rightarrow |\phi _{n}'\rangle =U|\phi _{n}\rangle$
$\ |\psi \rangle \rightarrow |\psi '\rangle =U|\psi \rangle$
הוכחה של משפט זה לא תנתן כאן וניתן למצוא אותה ב-Bargmann, 1964.

מספר תוצאות חשובות

• רק אופרטור יוניטרי יכול לייצג טרנספורמציה רציפה
• הטרנספורמציה מביאה כאמור לשינוי גם של הגודל $A$, באופן הבא:

$\ A\rightarrow A'=UAU^{-1}$

הגדרת היוצרים (Generators) של טרנספורמציה יוניטרית רציפה

( ניתן להוסיף הסקה לחלק הזה )
היוצר של טרנספורמציה יוניטרית רציפה מייצג שינוי אינפיניטיסימלי של המערכת -
$\ {{\frac {dU}{ds}}|}_{s=0}=iK$
כמו כן $\ K=K^{+}$ כלומר $\ K$ הרמיטי.
ניתן לייצג טרנספורמציה יוניטרית כלשהי (כלומר לא אינפיניטיסימלית בהכרח) על ידי $\ U_{(s)}=e^{isK}$
כאשר הטרנספורמציה U תלויה ב-n פרמטרים רציפים (באופן בלתי תלוי זה בזה), ולא בפרמטר יחיד, אז $U_{(\tau )}=\Pi _{\mu =1}^{n}e^{is_{\mu }K_{\mu }}$

ייצוג האופרטורים היוניטרים המייצגים את טרנספורמצית גלילאי בעזרת יוצרי החבורה

סיבוב סביב ציר $\ \alpha$ $\ (\alpha =1,2,3)$ , $e^{-i\theta _{\alpha }J_{\alpha }}$
הזזה לאורך ציר $\ \alpha$ $\ e^{-ia_{\alpha }P_{\alpha }}$
מהירות לאורך ציר $\alpha$ $\ e^{-iv_{\alpha }G_{\alpha }}$
הזזה בזמן $\ e^{-isH}$
כדאי לשים לב שיוצרים אלו (עשרה במספר) כתובים באופן סמלי (סימבולי), ולא ניתן להם בשלב זה ביטוי מפורש.

יחסי החילוף עבור יוצרי חבורת גלילי

• הגדרה: בהינתן שני אופרטוים $\ A,B$, יחס החילוף או הקומוטטור שלהם מוגדר באופן הבא: $\ [A,B]=AB-BA$. אם הקומוטטור של שני אופרטורים שווה לאפס, אומרים עליהם שהם מתחלפים.
• כאשר אנו דנים בחבורה, מציאת יחס החילוף בין איבריה עוזר לנו מאוד בניתוחה. בצורה דומה, ידיעת יחסי החילוף של האופרטורים בהם אנו דנים משרתת אותנו היטב בפיזיקה הקוונטית.

יחסים אלו ניתנים לחישוב (להוסיף בפרק נפרד את ההסקה), ומקיימים:
$\ [P_{\alpha },P_{\beta }]=0$
$\ [G_{\alpha },G_{\beta }]=0$
$\ [J_{\alpha },J_{\beta }]=i\epsilon _{\alpha ,\beta ,\gamma }J_{\gamma }$
$\ [J_{\alpha },P_{\beta }]=i\epsilon _{\alpha ,\beta ,\gamma }P_{\gamma }$
$\ [J_{\alpha },G_{\beta }]=i\epsilon _{\alpha ,\beta ,\gamma }G_{\gamma }$
$\ [G_{\alpha },P_{\beta }]=i\delta _{\alpha ,\beta }MI$
$\ [P_{\alpha },H]=0$
$\ [G_{\alpha },H]=iP_{\alpha }$
$\ [J_{\alpha },H]=0$

התאמת גדלים נצפים ליוצרי חבורת סמטרית גלילאי

יוצרי חבורת גלילאי תוארו בחלקים הקודמים מנקודת מבטה של הסמטריה שבין ההצגות השונות. כעת נקשר את האופרטורים האלו עם 'גדלים פיסיקלים נמדדים'.
הדינמיקה של 'חלקיק חופשי' היא אינווריאנטית (בלתי תלויה) ביחס לטרנספורמציות בחבורת גלילאי. בחלק זה ובבאים אחריו נראה כי עובדה זו מספיקה על מנת לזהות ולהתאים את יוצרי החבורה עם המשתנים הדינמיים, עם הגדלים הפיסיקליים הנמדדים בפועל.
'הגדרת אופרטור המיקום ומציאת הקשר בינו לבין יוצרי חבורת גלילאי באמצעות יחסי החילוף'
נניח קיומו של אופרטור המיקום:
$\ {\vec {Q}}=(Q_{1},Q_{2},Q_{3})$ כך שעל פי הגדרה - $\ Q_{\alpha }|{\vec {x}}\rangle =x_{\alpha }|{\vec {x}}\rangle$
ספקטרום הערכים העצמיים הינו רציף ובלתי מוגבל.
כאופרטור נוסף, נציג את 'אופרטור המהירות', $\ {\frac {d}{dt}}\langle {\vec {Q}}\rangle =\langle {\vec {V}}\rangle$
עם מעט אלגברה (...להוסיף) נקבל: $\ {\vec {V}}=i[H,{\vec {Q}}]$ כאשר צורתו של H עדיין אינה מוגדרת. נמצא כעת את יחסי החילוף של $\ {\vec {Q}}$ , האופרטור היחידי המזוהה עד עתה עם גודל פיזיקלי מדיד, עם יוצרי חבורת גלילאי:
(...להוסיף הסקה)
$\ [Q_{\alpha },P_{\beta }]=i\delta _{\alpha ,\beta }I$
$\ [J_{\alpha },Q_{\beta }]=i\epsilon _{\alpha ,\beta ,\gamma }Q_{\gamma }$
$\ [G_{\alpha },Q_{\beta }]=0$
כמו כן ניתן להראות כי: $\ [{\vec {G}}-M{\vec {Q}},{\vec {P}}]=[{\vec {G}}-M{\vec {Q}},{\vec {Q}}]=0$
בחלק הבא נחפש צורת הצגה מסוימת יותר עבור יוצרי החבורה. לאחר מכן, נסיק את המשמעות הפיסיקלית שלהם מתוך הקשר שלהם עם $\ {\vec {Q}}$ .

מקרה 1: זיהוי יוצרי החבורה עם גדלים פיסיקלים מדידים והצגת ההמילטוניאן עבור חלקיק חופשי ללא דרגות חופש פנימיות

במקרה זה הסט $\ \left\{{\vec {Q}}],{\vec {P}}\right\}$ הינו סט בלתי-פריק (...מדוע?), ולפי הלמה של שור (Schur's Lemma), כל אופרטור שהינו חילופי עם סט זה הוא כפולה של אופרטור היחידה.
כיוון ש- $\ {\vec {G}}-M{\vec {Q}}$ חילופי עם $\ {\vec {Q}},{\vec {P}}$, נקבל כי עליו להיות שווה למכפלה של מטריצת היחידה ,ולפיכך $\ G_{\alpha }=MQ_{\alpha }+c_{\alpha }I$
על מנת לקבוע את $\ c_{\alpha }$ (ובכך את הקשר שבין $\ {\vec {Q}},{\vec {G}}$) נשים לב כי
$\ [J_{\alpha },G_{\beta }]=i\epsilon _{\alpha ,\beta ,\gamma }G_{\gamma }$, $\ [J_{\alpha },MQ_{\beta }]=i\epsilon _{\alpha ,\beta ,\gamma }MQ_{\gamma }$ ועל כן, עבור חלקיק חופשי ללא דרגות חופש, $\ G_{\alpha }=MQ_{\alpha }$ תוך שימוש ביחסי החילוף שמצאנו עבור $\ {\vec {J}},{\vec {P}},{\vec {Q}}$ ובאופן דומה למציאת $\ G_{\alpha }$ במונחי $\ {\vec {Q}}$ ניתן למצוא כי $\ {\vec {J}}={\vec {Q}}\times {\vec {P}}$ עבור חלקיק חופשי ללא דרגות חופש.
את האופרטור הנותר, H, נמצא במונחי Q ו-P על ידי יחס החילוף שנמצא קודם לכן $\ [G_{\alpha },H]=iP_{\alpha }$.
על ידי הצבה ב-G את הערך שנמצא לעיל, נקבל, $\ [Q_{\alpha },H]=i{\frac {P_{\alpha }}{M}}$
למשוואה זו יש פתרון אם נבחר $\ H={\frac {{\vec {P}}\cdot {\vec {P}}}{2M}}$ אולם יתכן כי פתרון זה אינו יחיד בהכרח. נשים לב כי נובע מתוך המשוואה שמצאנו כי $\ [{\vec {Q}},H-{\frac {{\vec {P}}\cdot {\vec {P}}}{2M}}]=0$
וכן, מתוך $\ [P_{\alpha },H]=0$ נובע כי $\ [H-{\frac {{\vec {P}}\cdot {\vec {P}}}{2M}},{\vec {P}}]=0$, ועל כן על פי הלמה של שור, $\ H-{\frac {{\vec {P}}\cdot {\vec {P}}}{2M}}$ הינו גודל השווה למכפלה של אופרטור היחידה, ועל כן נקבל כי:

$\ H={\frac {{\vec {P}}\cdot {\vec {P}}}{2M}}+E_{0}I$

או אופרטור המהירות ניתן לחשב מתוך $\ {\vec {V}}=i[H,{\vec {Q}}]$ לקבל כי $\ {\vec {V}}={\frac {\vec {P}}{2M}}$.
כעת ניתן להעניק את 'המשמעות הפיסיקלית' המתאימה ליוצרים, מתוך התוצאות שקיבלנו,
$\ {\vec {P}}=M{\vec {V}}$
$\ H={\frac {1}{2}}M{\vec {V}}\cdot {\vec {V}}$
$\ {\vec {J}}={\vec {Q}}\times M{\vec {V}}$
כאשר Q מייצג את אופרטור המיקום, ו-V את אופרטור המהירות.
במידה והפרמטר הסקלרי M היה המסה של החלקיק היינו מקבלים את הקשרים הרגילים שבין מיקום ומהירות לתנע, אנרגיה ותנע זוויתי. אולם כיוון ש-M אינו מוגדר, אנו יכולים לקבוע רק שיוויון יחסים:
$\ {\frac {M}{mass}}={\frac {P}{momentum}}={\frac {H}{energy}}={\frac {J}{angularmomentum}}=fundamental\ constant\equiv \hbar ^{-1}$
בקביעת קשרים אלו השלמו למעשה את התיאור המלא של חלקיק חופשי על פי תורת הקוונטים.

מקרה 2: חלקיק חופשי עם דרגות חופש פנימיות (ספין)

(... להשלים הוכחה מ-Ballentine)

מקרה 3: חלקיק ללא דרגות חופש פנימיות בשדה כח חיצוני

(... להשלים הוכחה מ-Ballentine)

הערה לגבי משמעות ההסקה

במקורות רבים (כדוגמת Merzbacher E., 1963) מוצגת משוואת שרנדינגר כמשוואה שאומתה מניסוי, ולא על ידי הסקתה (באופן מדויק) מתוך עקרונות תאורטיים אחרים. כאשר היא מוצגת באופן זה, היא מהווה Postulate של התאוריה, כלומר הנחה ללא הוכחה. גם האופן שבו נמצאה על ידי א. שרנדינגר לא היה מושתת על הוכחה מתוך עקרונות תאורטיים בסיסיים יותר ( --??? משפט אחרון מדויק ???)
מקורות מסוימים (Merzbacher כדוגמא) מדגימים כיצד ניתן "לנחש"/להסיק משוואה זו מתוך דרישות שונות לגביה (כמו לינאריות, ודימיון למשוואת גלים). אולם, הצגה זו נעשת באופן שאינו מהווה הוכחה, והיא אינה מתיימרת לשמש ככזו.
בקטע להלן נעשה ניסיון, להציג הסקה של משוואת שרנדינגר מתוך עקרונות תאורטיים אחרים (ובסיסיים יותר, אולי), כלומר להסיק את משוואת שרנדינגר מתוך עקרון של אינוורינטיות חוקי הטבע תחת סמטרית גלילאי.
מתוך הסקה זו ניתן ללמוד על כוחה של 'סימטריה' במציאת חוקי טבע במתכונתם הדיפרנציאלית, וכן על האופן שבו נעשה שימוש בסמטריה על מנת להסיק עקרונות פעולה דינמיים (Dynamic Laws).
חשיבותה של הסמטריה לשם הסקה תאורטית של עקרונות לא מוכרים, מצאה את ביטויה בניסוח תורת היחסות הפרטית, וכן בתחום החלקיקים האלמנטיים. בכך מתווסף פאן נוסף לשימוש שניתן לעשות בהכרות עם ההסקה המוצגת כאן.
מעניין הוא לנסות ולהשליך מתודה זו גם על חוקי המכניקה הקלאסית, או לבצע הסקה דומה, עבור סימטריית לורנץ במכניקת הקוונטים.