ניזכר באלגברה לינארית: כל אבר במרחב וקטורי ניתן לייצוג על ידי צירוף לינארי של איברי בסיס של המרחב. נניח שאיברי הבסיס עמו אנו עובדים הם
{
v
i
}
i
=
1
N
{\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{N}}
∑
i
=
1
N
α
i
v
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}v_{i}}
{
α
i
}
i
=
1
N
{\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{N}}
כאשר יש לנו מרחב מממד N) N סופי או אינסופי, אבל בר-מניה), נוכל לכתוב את הצירוף הלינארי כסכום כלשהו, למשל:
∑
n
∈
N
α
n
v
n
{\displaystyle \sum _{n\in N}\alpha _{n}v_{n}}
נניח שיש לנו בסיס בממד רצף, כלומר אברי הבסיס הם
{
v
(
p
,
x
)
}
{\displaystyle \{v(p,x)\}}
p
{\displaystyle p}
I
{\displaystyle I}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
i
{\displaystyle i}
v
i
{\displaystyle v_{i}}
במקרה כזה, כמו בכל מקרה של מעבר מבדיד לרצף, הסכום הופך לאינטגרל. לכן, צירוף לינארי של אברי הבסיס במקרה שלנו ייראה כך:
∫
p
∈
I
α
(
p
)
v
(
p
,
x
)
d
p
{\displaystyle \int \limits _{p\in I}\alpha (p)v(p,x)dp}
x
{\displaystyle x}
עריכה
נתבונן בגל מישורי בעל מספר גל
k
{\displaystyle k}
k
=
2
π
λ
{\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}
ראינו שמתקיים:
p
→
=
ℏ
k
→
{\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}
p
{\displaystyle p}
בדומה למה שראינו קודם , גל מישורי כללי בממד אחד בעל קבוע
k
{\displaystyle k}
e
i
ℏ
(
−
p
2
2
m
t
+
p
x
)
{\displaystyle e^{{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {p^{2}}{2m}}t+px\right)}}
על-מנת לתאר גל כללי במרחב עלינו לבצע, אם כן, סופרפוזיציה (ס"פ, הרכבה, צירוף לינארי) של גלים בעלי מספרי
k
{\displaystyle k}
ψ
(
x
,
t
)
=
∫
−
∞
∞
g
(
p
)
e
i
ℏ
(
−
p
2
2
m
t
+
p
x
)
⋅
d
p
{\displaystyle \psi (x,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(p)e^{{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {p^{2}}{2m}}t+px\right)}\cdot dp}
g
(
p
)
{\displaystyle g(p)}
p
{\displaystyle p}
עריכה
ברגע
t
=
0
{\displaystyle t=0}
ψ
(
x
,
t
=
0
)
=
∫
g
(
p
)
⋅
e
i
ℏ
p
x
d
p
{\displaystyle \psi (x,t=0)=\int g(p)\cdot e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp}
אנו מניחים שהפונקציה
g
(
p
)
{\displaystyle g(p)}
גאוסיאן . כזכור, בהסתברות גאוסיאן הוא מהצורה:
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
σ
2
π
{\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}
μ
{\displaystyle \mu }
σ
{\displaystyle \sigma }
A
e
−
α
(
p
−
p
0
)
2
{\displaystyle Ae^{-\alpha (p-p_{0})^{2}}}
∫
g
(
p
)
⋅
e
i
ℏ
p
x
d
p
=
∫
A
e
−
α
(
p
−
p
0
)
2
⋅
e
i
ℏ
p
x
d
p
=
A
∫
e
−
α
(
p
−
p
0
)
2
+
i
ℏ
p
x
{\displaystyle \int g(p)\cdot e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp=\int Ae^{-\alpha (p-p_{0})^{2}}\cdot e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp=A\int e^{-\alpha (p-p_{0})^{2}+{\frac {i}{\hbar }}px}}
p
′
=
p
−
p
0
{\displaystyle p'=p-p_{0}}
p
=
p
0
+
p
′
{\displaystyle p=p_{0}+p'}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
ψ
(
x
,
t
=
0
)
=
A
∫
−
∞
∞
e
−
α
(
p
′
)
2
+
i
ℏ
(
p
0
+
p
′
)
x
d
p
′
=
{\displaystyle \psi (x,t=0)=A\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}+{\frac {i}{\hbar }}(p_{0}+p')x}dp'=}
=
A
∫
−
∞
∞
e
−
α
(
p
′
)
2
+
i
ℏ
p
0
x
+
i
ℏ
p
′
x
d
p
′
=
A
e
i
ℏ
p
0
x
∫
−
∞
∞
e
−
α
(
p
′
)
2
e
i
ℏ
p
′
x
d
p
′
=
{\displaystyle =A\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}+{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x+{\frac {i}{\hbar }}p'x}dp'=Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}p'x}dp'=}
=
A
e
i
ℏ
p
0
x
∫
−
∞
∞
e
−
α
(
p
′
)
2
[
cos
(
p
′
x
ℏ
)
+
i
sin
(
p
′
x
ℏ
)
]
d
p
′
=
{\displaystyle =Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\left[\cos \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)+i\sin \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)\right]dp'=}
=
A
e
i
ℏ
p
0
x
[
∫
−
∞
∞
e
−
α
(
p
′
)
2
cos
(
p
′
x
ℏ
)
d
p
′
+
i
∫
−
∞
∞
e
−
α
(
p
′
)
2
sin
(
p
′
x
ℏ
)
d
p
′
]
=
{\displaystyle =Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\left[\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\cos \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)dp'+i\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\sin \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)dp'\right]=}
=
A
π
α
e
i
ℏ
p
0
x
−
x
2
4
α
ℏ
{\displaystyle =A{\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x-{\frac {x^{2}}{4\alpha \hbar }}}}
עריכה
עד כה דנו בגל, או יותר נכון - בחבורת גלים, ברגע
t
=
0
{\displaystyle t=0}
t
{\displaystyle t}
=
ψ
(
x
,
t
=
0
)
⋅
e
−
i
ℏ
p
2
2
m
t
{\displaystyle \ =\psi \left(x,t=0\right)\cdot e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}t}}
ψ
(
x
,
t
)
=
ψ
(
x
,
t
=
0
)
×
{\displaystyle \ \psi (x,t)=\psi \left(x,t=0\right)\times }
=
A
∫
−
∞
∞
d
p
⋅
e
−
α
(
p
−
p
0
)
2
+
i
ℏ
p
x
−
i
ℏ
p
2
2
m
t
{\displaystyle \ =A\int _{-\infty }^{\infty }dp\cdot e^{-\alpha \left(p-p_{0}\right)^{2}+{\frac {i}{\hbar }}px-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}t}}
p
′
=
p
−
p
0
{\displaystyle \ p'=p-p_{0}}
p
=
p
0
+
p
′
{\displaystyle \ p=p_{0}+p'}
ψ
(
x
,
t
)
=
A
⋅
∫
−
∞
∞
d
p
′
e
−
α
(
p
′
)
2
+
i
ℏ
p
0
x
+
i
ℏ
p
′
x
−
i
ℏ
(
p
0
+
p
′
)
2
2
m
t
=
{\displaystyle \ \psi (x,t)=A\cdot \int _{-\infty }^{\infty }dp'e^{-\alpha \left(p'\right)^{2}+{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x+{\frac {i}{\hbar }}p'x-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\left(p_{0}+p'\right)^{2}}{2m}}t}=}
=
A
⋅
∫
−
∞
∞
d
p
′
e
−
α
(
p
′
)
2
+
i
ℏ
p
0
x
+
i
ℏ
p
′
x
−
i
ℏ
p
0
2
+
2
p
0
p
′
+
p
′
2
2
m
t
=
{\displaystyle \ =A\cdot \int _{-\infty }^{\infty }dp'e^{-\alpha \left(p'\right)^{2}+{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x+{\frac {i}{\hbar }}p'x-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p_{0}^{2}+2p_{0}p'+p'^{2}}{2m}}t}=}
=
A
⋅
∫
−
∞
∞
d
p
′
e
−
α
(
p
′
)
2
+
i
ℏ
p
0
x
+
i
ℏ
p
′
x
−
i
ℏ
p
0
2
2
m
t
−
i
ℏ
p
0
p
′
m
t
−
i
ℏ
p
′
2
2
m
t
=
{\displaystyle \ =A\cdot \int _{-\infty }^{\infty }dp'e^{-\alpha \left(p'\right)^{2}+{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x+{\frac {i}{\hbar }}p'x-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p_{0}^{2}}{2m}}t-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p_{0}p'}{m}}t-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p'^{2}}{2m}}t}=}
=
A
e
i
ℏ
p
0
x
−
i
ℏ
p
0
2
2
m
t
+
∫
−
∞
∞
d
p
′
e
−
(
α
+
t
2
m
ℏ
)
p
′
2
+
i
ℏ
(
x
−
p
0
t
m
)
p
′
{\displaystyle \ =Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p_{0}^{2}}{2m}}t}+\int _{-\infty }^{\infty }dp'e^{-\left(\alpha +{\frac {t}{2m\hbar }}\right)p'^{2}+{\frac {i}{\hbar }}\left(x-{\frac {p_{0}t}{m}}\right)p'}}
קיבלנו שוב אינטגרל מהצורה
e
β
(
p
′
)
2
+
γ
p
′
{\displaystyle \ e^{\beta (p')^{2}+\gamma p'}}
γ
=
x
−
p
0
m
t
,
β
=
α
+
i
2
m
ℏ
t
{\displaystyle \ \gamma =x-{\frac {p_{0}}{m}}t,\ \ \beta =\alpha +{\frac {i}{2m\hbar }}t}
V
0
=
p
o
m
,
β
0
=
1
2
m
ℏ
{\displaystyle \ V_{0}={\frac {p_{o}}{m}},\ \beta _{0}={\frac {1}{2m\hbar }}}
ψ
(
x
,
t
)
=
A
e
i
ℏ
(
p
0
x
−
p
0
2
2
m
t
)
π
α
+
i
β
0
t
⋅
e
−
(
x
−
v
0
t
)
4
(
α
+
i
β
0
t
)
ℏ
2
{\displaystyle \ \psi \left(x,t\right)=Ae^{{\frac {i}{\hbar }}\left(p_{0}x-{\frac {p_{0}^{2}}{2m}}t\right)}{\sqrt {\frac {\pi }{\alpha +i\beta _{0}t}}}\cdot e^{\frac {-\left(x-v_{0}t\right)}{4\left(\alpha +i\beta _{0}t\right)\hbar ^{2}}}}
נשים לב שהאקספוננט השני שהתקבל, כלומר ה-
−
(
x
−
v
0
t
)
4
(
α
+
i
β
0
t
)
ℏ
2
{\displaystyle \ {\frac {-\left(x-v_{0}t\right)}{4\left(\alpha +i\beta _{0}t\right)\hbar ^{2}}}}
מתמטיקה של הגאוסיאן : נזכור שהמונה קובע את רוחב הגאוסיאן, ואילו המכנה קובע את רוחבו .
עבור
e
−
x
2
A
{\displaystyle \ e^{-{\frac {x^{2}}{A}}}}
A
{\displaystyle \ {\sqrt {A}}}
גם המונה גדל עם הזמן - כלומר, מדובר בחבילת גלים שלא רק מתרחבת, אלא גם נעה - מסקנה מתבקשת כשמדובר בחבורת גלים. הסתברות: כזכור, פונקצית הגל מבטאת הסתברות, או יותר נכון - פונקצית הגל בריבוע. נזכור שעבור מספר מרוכב
a
+
i
b
{\displaystyle \ a+ib}
|
a
+
i
b
|
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle \ \left|a+ib\right|^{2}=a^{2}+b^{2}}
|
ψ
(
x
,
t
,
)
|
2
=
A
2
(
π
2
α
2
+
β
0
2
t
2
)
1
2
⋅
|
exp
{
−
(
x
−
v
0
t
)
2
4
(
α
+
i
β
0
t
)
ℏ
2
}
|
2
{\displaystyle \ \left|\psi \left(x,t,\right)\right|^{2}=A^{2}\left({\frac {\pi ^{2}}{\alpha ^{2}+\beta _{0}^{2}t^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \left|\exp \left\{-{\frac {\left(x-v_{0}t\right)^{2}}{4\left(\alpha +i\beta _{0}t\right)\hbar ^{2}}}\right\}\right|^{2}}
γ
=
a
+
i
b
{\displaystyle \ \gamma =a+ib}
|
e
γ
|
2
=
e
γ
⋅
e
γ
∗
=
e
a
+
i
b
e
a
−
i
b
=
e
2
a
{\displaystyle \ \left|e^{\gamma }\right|^{2}=e^{\gamma }\cdot e^{\gamma ^{*}}=e^{a+ib}e^{a-ib}=e^{2a}}
|
ψ
(
x
,
t
,
)
|
2
=
A
2
π
(
α
2
+
β
0
2
t
2
)
1
2
⋅
exp
{
−
α
(
x
−
v
0
t
)
2
2
(
α
2
+
β
0
2
t
2
)
ℏ
2
}
{\displaystyle \ \left|\psi \left(x,t,\right)\right|^{2}=A^{2}{\frac {\pi }{\left(\alpha ^{2}+\beta _{0}^{2}t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}\cdot \exp \left\{-{\frac {\alpha \left(x-v_{0}t\right)^{2}}{2\left(\alpha ^{2}+\beta _{0}^{2}t^{2}\right)\hbar ^{2}}}\right\}}
נסמן:
Δ
x
(
t
)
{\displaystyle \ \Delta x(t)}
t
{\displaystyle \ t}
Δ
x
(
t
)
≃
ℏ
α
2
+
β
0
2
t
2
α
{\displaystyle \ \Delta x(t)\simeq \hbar {\sqrt {\frac {\alpha ^{2}+\beta _{0}^{2}t^{2}}{\alpha }}}}
β
0
=
1
2
m
ℏ
{\displaystyle \ \beta _{0}={\frac {1}{2m\hbar }}}
Δ
x
(
t
)
=
ℏ
α
2
+
t
2
2
m
ℏ
α
=
ℏ
(
α
2
α
+
t
2
2
m
ℏ
α
)
=
ℏ
(
α
+
t
2
2
m
ℏ
α
)
{\displaystyle \ \Delta x(t)=\hbar {\frac {\alpha ^{2}+{\frac {t^{2}}{2m\hbar }}}{\alpha }}=\hbar \left({\frac {\alpha ^{2}}{\alpha }}+{\frac {t^{2}}{2m\hbar \alpha }}\right)=\hbar \left(\alpha +{\frac {t^{2}}{2m\hbar \alpha }}\right)}
t
=
0
{\displaystyle \ t=0}
Δ
x
(
0
)
=
α
{\displaystyle \ \Delta x(0)=\alpha }
Δ
x
(
t
)
Δ
x
(
0
)
=
ℏ
(
α
+
t
2
2
m
ℏ
α
)
α
=
[
1
+
(
t
2
m
ℏ
α
)
2
]
1
2
{\displaystyle \ {\frac {\Delta x(t)}{\Delta x(0)}}={\frac {\hbar \left(\alpha +{\frac {t^{2}}{2m\hbar \alpha }}\right)}{\alpha }}=\left[1+\left({\frac {t}{2m\hbar \alpha }}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}
![{\displaystyle =Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\left[\cos \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)+i\sin \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)\right]dp'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c18a9c9fa9311258d6a78741a7b02ef52b49888)
![{\displaystyle =Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\left[\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\cos \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)dp'+i\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\sin \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)dp'\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dbaf3ccba604e7218032fdd6d71b1fa9d417356)
![{\displaystyle \ {\frac {\Delta x(t)}{\Delta x(0)}}={\frac {\hbar \left(\alpha +{\frac {t^{2}}{2m\hbar \alpha }}\right)}{\alpha }}=\left[1+\left({\frac {t}{2m\hbar \alpha }}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7064a854a57a19ea27eb2a1a951975aa28c125)