פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 5

חבורת גליםעריכה

הקדמה אלגבריתעריכה

ניזכר באלגברה לינארית: כל אבר במרחב וקטורי ניתן לייצוג על ידי צירוף לינארי של איברי בסיס של המרחב. נניח שאיברי הבסיס עמו אנו עובדים הם   , הרי שצירוף לינארי שלהם ייראה כך:   , כאשר   סקלרים.

כאשר יש לנו מרחב מממד N) N סופי או אינסופי, אבל בר-מניה), נוכל לכתוב את הצירוף הלינארי כסכום כלשהו, למשל:   . אבל, מה קורה כאשר המימד של המרחב הוא רצף? כיצד נכתוב צירוף לינארי במקרה הזה?

נניח שיש לנו בסיס בממד רצף, כלומר אברי הבסיס הם   כאשר   שייך לאינטרוול כלשהו   (שיכול להיות גם כל הישר). שימו לב, שכאן לא מדובר בתלות ב-   אלא האות   מבטאת אינדקס, ממש כמו האות   באבר הבסיס   (שמסמן אבר בסיס עבור ממד סופי).

במקרה כזה, כמו בכל מקרה של מעבר מבדיד לרצף, הסכום הופך לאינטגרל. לכן, צירוף לינארי של אברי הבסיס במקרה שלנו ייראה כך:   . שימו לב, שתוצאת האינטגרל הזו נותנת לנו וקטור שתלוי במשתנה   , כלומר וקטור במרחב שלנו.

הקשר לפיזיקה קוונטית ולפונקצית גלעריכה

נתבונן בגל מישורי בעל מספר גל   מסוים. כידוע, מספר זה מקיים:   , והוא ממשי. ראינו שמתקיים:   , לכן גם   מייצג את מספר הגל.

בדומה למה שראינו קודם, גל מישורי כללי בממד אחד בעל קבוע   ניתן לתיאור באמצעות:   .

על-מנת לתאר גל כללי במרחב עלינו לבצע, אם כן, סופרפוזיציה (ס"פ, הרכבה, צירוף לינארי) של גלים בעלי מספרי   שונים. במקרה הכללי, יש לנו רצף של מספרים כאלה. לכן, גל כללי, המורכב מס"פ של גלים מישוריים, ייראה כך:   כאשר   הינו המקדם (או "המשקל") המתאים לכל   .

התפשטות של חבורת גליםעריכה

ברגע   מכינים חבורת גלים:  

אנו מניחים שהפונקציה   היא גאוסיאן. כזכור, בהסתברות גאוסיאן הוא מהצורה:   , כאשר   מסמל את הממוצע ו-   את סטיית התקן. במקרה שלנו, ניקח גאוסיאן כללי, כלומר מהצורה  . לכן, חבורת הגלים שלנו תיראה כך:

 


נסמן:   , כך שמתקיים:   . ואז, ברגע   חבורת הגלים שלנו תיראה כך:

 
 


 


 


 

התפתחות בזמן של חבורת גליםעריכה

עד כה דנו בגל, או יותר נכון - בחבורת גלים, ברגע   . כעת, נתבונן בהתנהגות החבורה בזמן   כלשהו, כלומר בהתפתחות שלה בזמן:
באופן כללי:
  (התפתחות בזמן)  

 


נציב שוב  , כך ששוב יתקיים:  . נקבל:

 

 

 

 

קיבלנו שוב אינטגרל מהצורה  , אלא שהפעם:  .
נסמן לכן:  . נקבל:
 

ניתוח התוצאהעריכה

נשים לב שהאקספוננט השני שהתקבל, כלומר ה-  , הוא בצורת גאוסיאן. ניזכר שוב במתמטיקה של הגאוסיאן: נזכור שהמונה קובע את רוחב הגאוסיאן, ואילו המכנה קובע את רוחבו.

  • עבור   נקבל גאוסיאן ברוחב  . במקרה שלנו, המכנה גדל עם הזמן, לכן עם הזמן גם הגאוסיאן של חבילת הגלים מתרחב. במילים אחרות, רוחב החבילה גדל.
  • גם המונה גדל עם הזמן - כלומר, מדובר בחבילת גלים שלא רק מתרחבת, אלא גם נעה - מסקנה מתבקשת כשמדובר בחבורת גלים.

הסתברות: כזכור, פונקצית הגל מבטאת הסתברות, או יותר נכון - פונקצית הגל בריבוע. נזכור שעבור מספר מרוכב   מתקיים:  .
נקבל:

 
תזכורת עבור העלאת האקספוננט בריבוע: עבור  , מתקיים:
 . לכן, במקרה שלנו, נקבל:
 

נסמן:   = רוחב הגאוסיאן בזמן  . ולפי התזכורת שרשמנו למעלה לגבי גודל זה, נקבל שמתקיים:  .
נציב את  , ונקבל:
 . נציב כעת  , ונקבל:  . ומכאן:
 


ההרצאה הקודמת:
הרצאה מספר 4
עמוד ראשי:
פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס
ההרצאה הבאה:
הרצאה מספר 6