חבורת גלים
עריכה
הקדמה אלגברית
עריכה
ניזכר באלגברה לינארית: כל אבר במרחב וקטורי ניתן לייצוג על ידי צירוף לינארי של איברי בסיס של המרחב. נניח שאיברי הבסיס עמו אנו עובדים הם { v i } i = 1 N {\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{N}} ∑ i = 1 N α i v i {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}v_{i}} { α i } i = 1 N {\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{N}}
כאשר יש לנו מרחב מממד N) N סופי או אינסופי, אבל בר-מניה), נוכל לכתוב את הצירוף הלינארי כסכום כלשהו, למשל: ∑ n ∈ N α n v n {\displaystyle \sum _{n\in N}\alpha _{n}v_{n}}
נניח שיש לנו בסיס בממד רצף, כלומר אברי הבסיס הם { v ( p , x ) } {\displaystyle \{v(p,x)\}} p {\displaystyle p} I {\displaystyle I} p {\displaystyle p} p {\displaystyle p} i {\displaystyle i} v i {\displaystyle v_{i}}
במקרה כזה, כמו בכל מקרה של מעבר מבדיד לרצף, הסכום הופך לאינטגרל. לכן, צירוף לינארי של אברי הבסיס במקרה שלנו ייראה כך:
∫ p ∈ I α ( p ) v ( p , x ) d p {\displaystyle \int \limits _{p\in I}\alpha (p)v(p,x)dp} x {\displaystyle x}
הקשר לפיזיקה קוונטית ולפונקצית גל
עריכה
נתבונן בגל מישורי בעל מספר גל k {\displaystyle k} k = 2 π λ {\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}} ראינו שמתקיים: p → = ℏ k → {\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}} p {\displaystyle p}
בדומה למה שראינו קודם , גל מישורי כללי בממד אחד בעל קבוע k {\displaystyle k} e i ℏ ( − p 2 2 m t + p x ) {\displaystyle e^{{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {p^{2}}{2m}}t+px\right)}}
על-מנת לתאר גל כללי במרחב עלינו לבצע, אם כן, סופרפוזיציה (ס"פ, הרכבה, צירוף לינארי) של גלים בעלי מספרי k {\displaystyle k} ψ ( x , t ) = ∫ − ∞ ∞ g ( p ) e i ℏ ( − p 2 2 m t + p x ) ⋅ d p {\displaystyle \psi (x,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(p)e^{{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {p^{2}}{2m}}t+px\right)}\cdot dp} g ( p ) {\displaystyle g(p)} p {\displaystyle p}
התפשטות של חבורת גלים
עריכה
ברגע t = 0 {\displaystyle t=0} ψ ( x , t = 0 ) = ∫ g ( p ) ⋅ e i ℏ p x d p {\displaystyle \psi (x,t=0)=\int g(p)\cdot e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp}
אנו מניחים שהפונקציה g ( p ) {\displaystyle g(p)} גאוסיאן . כזכור, בהסתברות גאוסיאן הוא מהצורה: e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 σ 2 π {\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}} μ {\displaystyle \mu } σ {\displaystyle \sigma } A e − α ( p − p 0 ) 2 {\displaystyle Ae^{-\alpha (p-p_{0})^{2}}}
∫ g ( p ) ⋅ e i ℏ p x d p = ∫ A e − α ( p − p 0 ) 2 ⋅ e i ℏ p x d p = A ∫ e − α ( p − p 0 ) 2 + i ℏ p x {\displaystyle \int g(p)\cdot e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp=\int Ae^{-\alpha (p-p_{0})^{2}}\cdot e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp=A\int e^{-\alpha (p-p_{0})^{2}+{\frac {i}{\hbar }}px}} p ′ = p − p 0 {\displaystyle p'=p-p_{0}} p = p 0 + p ′ {\displaystyle p=p_{0}+p'} t = 0 {\displaystyle t=0}
ψ ( x , t = 0 ) = A ∫ − ∞ ∞ e − α ( p ′ ) 2 + i ℏ ( p 0 + p ′ ) x d p ′ = {\displaystyle \psi (x,t=0)=A\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}+{\frac {i}{\hbar }}(p_{0}+p')x}dp'=} = A ∫ − ∞ ∞ e − α ( p ′ ) 2 + i ℏ p 0 x + i ℏ p ′ x d p ′ = A e i ℏ p 0 x ∫ − ∞ ∞ e − α ( p ′ ) 2 e i ℏ p ′ x d p ′ = {\displaystyle =A\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}+{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x+{\frac {i}{\hbar }}p'x}dp'=Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}p'x}dp'=}
= A e i ℏ p 0 x ∫ − ∞ ∞ e − α ( p ′ ) 2 [ cos ( p ′ x ℏ ) + i sin ( p ′ x ℏ ) ] d p ′ = {\displaystyle =Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\left[\cos \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)+i\sin \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)\right]dp'=}
= A e i ℏ p 0 x [ ∫ − ∞ ∞ e − α ( p ′ ) 2 cos ( p ′ x ℏ ) d p ′ + i ∫ − ∞ ∞ e − α ( p ′ ) 2 sin ( p ′ x ℏ ) d p ′ ] = {\displaystyle =Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\left[\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\cos \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)dp'+i\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\sin \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)dp'\right]=}
= A π α e i ℏ p 0 x − x 2 4 α ℏ {\displaystyle =A{\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x-{\frac {x^{2}}{4\alpha \hbar }}}} התפתחות בזמן של חבורת גלים
עריכה
עד כה דנו בגל, או יותר נכון - בחבורת גלים, ברגע t = 0 {\displaystyle t=0} t {\displaystyle t} = ψ ( x , t = 0 ) ⋅ e − i ℏ p 2 2 m t {\displaystyle \ =\psi \left(x,t=0\right)\cdot e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}t}} ψ ( x , t ) = ψ ( x , t = 0 ) × {\displaystyle \ \psi (x,t)=\psi \left(x,t=0\right)\times }
= A ∫ − ∞ ∞ d p ⋅ e − α ( p − p 0 ) 2 + i ℏ p x − i ℏ p 2 2 m t {\displaystyle \ =A\int _{-\infty }^{\infty }dp\cdot e^{-\alpha \left(p-p_{0}\right)^{2}+{\frac {i}{\hbar }}px-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}t}}
p ′ = p − p 0 {\displaystyle \ p'=p-p_{0}} p = p 0 + p ′ {\displaystyle \ p=p_{0}+p'}
ψ ( x , t ) = A ⋅ ∫ − ∞ ∞ d p ′ e − α ( p ′ ) 2 + i ℏ p 0 x + i ℏ p ′ x − i ℏ ( p 0 + p ′ ) 2 2 m t = {\displaystyle \ \psi (x,t)=A\cdot \int _{-\infty }^{\infty }dp'e^{-\alpha \left(p'\right)^{2}+{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x+{\frac {i}{\hbar }}p'x-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\left(p_{0}+p'\right)^{2}}{2m}}t}=}
= A ⋅ ∫ − ∞ ∞ d p ′ e − α ( p ′ ) 2 + i ℏ p 0 x + i ℏ p ′ x − i ℏ p 0 2 + 2 p 0 p ′ + p ′ 2 2 m t = {\displaystyle \ =A\cdot \int _{-\infty }^{\infty }dp'e^{-\alpha \left(p'\right)^{2}+{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x+{\frac {i}{\hbar }}p'x-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p_{0}^{2}+2p_{0}p'+p'^{2}}{2m}}t}=}
= A ⋅ ∫ − ∞ ∞ d p ′ e − α ( p ′ ) 2 + i ℏ p 0 x + i ℏ p ′ x − i ℏ p 0 2 2 m t − i ℏ p 0 p ′ m t − i ℏ p ′ 2 2 m t = {\displaystyle \ =A\cdot \int _{-\infty }^{\infty }dp'e^{-\alpha \left(p'\right)^{2}+{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x+{\frac {i}{\hbar }}p'x-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p_{0}^{2}}{2m}}t-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p_{0}p'}{m}}t-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p'^{2}}{2m}}t}=}
= A e i ℏ p 0 x − i ℏ p 0 2 2 m t + ∫ − ∞ ∞ d p ′ e − ( α + t 2 m ℏ ) p ′ 2 + i ℏ ( x − p 0 t m ) p ′ {\displaystyle \ =Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p_{0}^{2}}{2m}}t}+\int _{-\infty }^{\infty }dp'e^{-\left(\alpha +{\frac {t}{2m\hbar }}\right)p'^{2}+{\frac {i}{\hbar }}\left(x-{\frac {p_{0}t}{m}}\right)p'}}
קיבלנו שוב אינטגרל מהצורה e β ( p ′ ) 2 + γ p ′ {\displaystyle \ e^{\beta (p')^{2}+\gamma p'}} γ = x − p 0 m t , β = α + i 2 m ℏ t {\displaystyle \ \gamma =x-{\frac {p_{0}}{m}}t,\ \ \beta =\alpha +{\frac {i}{2m\hbar }}t} V 0 = p o m , β 0 = 1 2 m ℏ {\displaystyle \ V_{0}={\frac {p_{o}}{m}},\ \beta _{0}={\frac {1}{2m\hbar }}} ψ ( x , t ) = A e i ℏ ( p 0 x − p 0 2 2 m t ) π α + i β 0 t ⋅ e − ( x − v 0 t ) 4 ( α + i β 0 t ) ℏ 2 {\displaystyle \ \psi \left(x,t\right)=Ae^{{\frac {i}{\hbar }}\left(p_{0}x-{\frac {p_{0}^{2}}{2m}}t\right)}{\sqrt {\frac {\pi }{\alpha +i\beta _{0}t}}}\cdot e^{\frac {-\left(x-v_{0}t\right)}{4\left(\alpha +i\beta _{0}t\right)\hbar ^{2}}}}
ניתוח התוצאה
עריכה
נשים לב שהאקספוננט השני שהתקבל, כלומר ה- − ( x − v 0 t ) 4 ( α + i β 0 t ) ℏ 2 {\displaystyle \ {\frac {-\left(x-v_{0}t\right)}{4\left(\alpha +i\beta _{0}t\right)\hbar ^{2}}}} מתמטיקה של הגאוסיאן : נזכור שהמונה קובע את רוחב הגאוסיאן, ואילו המכנה קובע את רוחבו .
עבור e − x 2 A {\displaystyle \ e^{-{\frac {x^{2}}{A}}}} A {\displaystyle \ {\sqrt {A}}}
גם המונה גדל עם הזמן - כלומר, מדובר בחבילת גלים שלא רק מתרחבת, אלא גם נעה - מסקנה מתבקשת כשמדובר בחבורת גלים. הסתברות: כזכור, פונקצית הגל מבטאת הסתברות, או יותר נכון - פונקצית הגל בריבוע. נזכור שעבור מספר מרוכב a + i b {\displaystyle \ a+ib} | a + i b | 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle \ \left|a+ib\right|^{2}=a^{2}+b^{2}}
| ψ ( x , t , ) | 2 = A 2 ( π 2 α 2 + β 0 2 t 2 ) 1 2 ⋅ | exp { − ( x − v 0 t ) 2 4 ( α + i β 0 t ) ℏ 2 } | 2 {\displaystyle \ \left|\psi \left(x,t,\right)\right|^{2}=A^{2}\left({\frac {\pi ^{2}}{\alpha ^{2}+\beta _{0}^{2}t^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \left|\exp \left\{-{\frac {\left(x-v_{0}t\right)^{2}}{4\left(\alpha +i\beta _{0}t\right)\hbar ^{2}}}\right\}\right|^{2}} γ = a + i b {\displaystyle \ \gamma =a+ib} | e γ | 2 = e γ ⋅ e γ ∗ = e a + i b e a − i b = e 2 a {\displaystyle \ \left|e^{\gamma }\right|^{2}=e^{\gamma }\cdot e^{\gamma ^{*}}=e^{a+ib}e^{a-ib}=e^{2a}} | ψ ( x , t , ) | 2 = A 2 π ( α 2 + β 0 2 t 2 ) 1 2 ⋅ exp { − α ( x − v 0 t ) 2 2 ( α 2 + β 0 2 t 2 ) ℏ 2 } {\displaystyle \ \left|\psi \left(x,t,\right)\right|^{2}=A^{2}{\frac {\pi }{\left(\alpha ^{2}+\beta _{0}^{2}t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}\cdot \exp \left\{-{\frac {\alpha \left(x-v_{0}t\right)^{2}}{2\left(\alpha ^{2}+\beta _{0}^{2}t^{2}\right)\hbar ^{2}}}\right\}}
נסמן: Δ x ( t ) {\displaystyle \ \Delta x(t)} t {\displaystyle \ t} Δ x ( t ) ≃ ℏ α 2 + β 0 2 t 2 α {\displaystyle \ \Delta x(t)\simeq \hbar {\sqrt {\frac {\alpha ^{2}+\beta _{0}^{2}t^{2}}{\alpha }}}} β 0 = 1 2 m ℏ {\displaystyle \ \beta _{0}={\frac {1}{2m\hbar }}} Δ x ( t ) = ℏ α 2 + t 2 2 m ℏ α = ℏ ( α 2 α + t 2 2 m ℏ α ) = ℏ ( α + t 2 2 m ℏ α ) {\displaystyle \ \Delta x(t)=\hbar {\frac {\alpha ^{2}+{\frac {t^{2}}{2m\hbar }}}{\alpha }}=\hbar \left({\frac {\alpha ^{2}}{\alpha }}+{\frac {t^{2}}{2m\hbar \alpha }}\right)=\hbar \left(\alpha +{\frac {t^{2}}{2m\hbar \alpha }}\right)} t = 0 {\displaystyle \ t=0} Δ x ( 0 ) = α {\displaystyle \ \Delta x(0)=\alpha } Δ x ( t ) Δ x ( 0 ) = ℏ ( α + t 2 2 m ℏ α ) α = [ 1 + ( t 2 m ℏ α ) 2 ] 1 2 {\displaystyle \ {\frac {\Delta x(t)}{\Delta x(0)}}={\frac {\hbar \left(\alpha +{\frac {t^{2}}{2m\hbar \alpha }}\right)}{\alpha }}=\left[1+\left({\frac {t}{2m\hbar \alpha }}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}
![{\displaystyle =Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\left[\cos \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)+i\sin \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)\right]dp'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c18a9c9fa9311258d6a78741a7b02ef52b49888)
![{\displaystyle =Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\left[\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\cos \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)dp'+i\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\sin \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)dp'\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dbaf3ccba604e7218032fdd6d71b1fa9d417356)
![{\displaystyle \ {\frac {\Delta x(t)}{\Delta x(0)}}={\frac {\hbar \left(\alpha +{\frac {t^{2}}{2m\hbar \alpha }}\right)}{\alpha }}=\left[1+\left({\frac {t}{2m\hbar \alpha }}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7064a854a57a19ea27eb2a1a951975aa28c125)