פיזיקה קוונטית 2 מחברת קורס/הרצאה מספר 2

תיאור כולל של חלקיק בעל ספין חצי

מרחב ההילברט שאנו נמצאים ועובדים בו: $\ E_{H}=E_{ext}\otimes E_{spin}$, כלומר מכפלה טנזורית בין המרחב הספיני לבין המרחב ה"חיצוני". לרוב, $\ E_{ext}=l^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$, כלומר מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע ב- $\ \mathbb {R}$.

יחסי קומוטציה (חילוף)

חשוב לשים לב: אופרטוריים מרחביים ואופרטורי ספין מוגדרים במרחבי הילברט שונים, לכן מתחלפים.

• מוגדרים במרחבים שונים, כלומר:

$\ \left({\hat {A_{ext}}}\otimes {\hat {B_{spin}}}\right)\left(\left|\Psi _{\Sigma }\right\rangle \otimes \left|\Sigma \right\rangle \right)=\left({\hat {A_{ext}}}\left|\Psi _{\Sigma }\right\rangle \right)\otimes \left({\hat {B_{spin}}}\left|\Sigma \right\rangle \right)$.

• מתחלפים: $\ \left[{\hat {A_{ext}}},{\hat {B_{spin}}}\right]=o$. חשוב לזכור, שהכתוב כאן הינו סימון בלבד, מכיוון שבלתי אפשרי לכפול, או להפעיל זה על זה, שני אופרטורים הפועלים במרחבים זרים!

צורת כתיבה מדויקת יותר תהיה: $\ \left[{\hat {A_{ext}}}\otimes {\hat {1_{spin}}},{\hat {1_{ext}}}\otimes {\hat {B_{spin}}}\right]=0$. מצורת הכתיבה המפורשת ניתן לראות גם מבחינה אלגברית מדוע האופרטורים מתחלפים.

הצגות של מצבים קוונטיים

מצב קוונטי כללי $\ \left|\Psi \right\rangle \in E_{H}$ ייכתב באופן הבא: $\ \left|\Psi \right\rangle =\left|\Psi _{+}\right\rangle \otimes \left|+\right\rangle +\left|\Psi _{-}\right\rangle \otimes \left|-\right\rangle$

וכרגיל, ניתן להציג אותו בצורות שונות בבסיסים השונים:

• הצגה מעורבת: $\ \Psi _{+}\left(r,t\right)\left|+\right\rangle +\Psi _{-}\left(r,t\right)\left|-\right\rangle \in E_{spin}$.

כאשר, כרגיל: $\ \left|\Psi _{+}\left(r,t\right)\right|^{2}$ = ההסתברות למצוא את החלקיק בנפח $\ d^{3}r$ סביב $\ {\vec {r}}$ בספין $\ +{\frac {\hbar }{2}}$, ו- $\ \left|\Psi _{-}\left(r,t\right)\right|^{2}$ = ההסתברות למצוא את החלקיק בנפח $\ d^{3}r$ סביב $\ {\vec {r}}$ בספין $\ -{\frac {\hbar }{2}}$.

• פונקצית גל בעלת 2 מרכיבים: $\ \left({\begin{matrix}\Psi _{+}\left(r,t\right)\\\Psi _{-}\left(r,t\right)\end{matrix}}\right)$.

• מצבים אטומיים: תזכורת: מצב אטומי כללי מתואר ע"י 3 מספרים קוונטיים $\ \left|n,l,m\right\rangle$, כאשר $\ l,m$ מתארים את התנ"ז האורביטלי ו- $\ n$ מתאר את החלק הרדיאלי.
  

כעת, נוסיף לשלושת המספרים הללו מספר נוסף, המתאר את הספין: נסמנו ע"י $\ \left|\sigma \right\rangle$ ולפעמים ע"י $\ \left|s\right\rangle$. מאחר והמספרים הללו הם ע"ע (ערכים עצמיים) של אופרטורים הפועלים במרחבי הילברט שונים, המצב האטומי יתואר באופן מלא באמצעות: $\ \left|n,l,m\right\rangle \otimes \left|\sigma \right\rangle$, או בכתיב מקוצר: $\ \left|n,l,m,\sigma \right\rangle$.

מומנט מגנטי של ספין חצי

$\ \star$ תנ"ז אורביטלי $\ {\vec {L}}$: כזכור, באופן קלאסי קיבלנו שקיים מומנט מגנטי $\ {\vec {\mu }}$ המקיים: $\ {\vec {\mu }}=\gamma _{0}{\vec {L}}$, כאשר הגדרנו: $\ \gamma _{0}\equiv -{\frac {q}{2m}}$. על מנת לתאר אותו בצורה קוונטית, נחשוב עליו כעל אופרטור: $\ {\hat {\vec {\mu }}}=\gamma _{0}{\hat {\vec {L}}}$.
$\ \star$ ספין $\ {\frac {1}{2}}$: מאחר והאלגברה (ורק האלגברה!!!) של ספין $\ {\frac {1}{2}}$ דומה לזו של תנ"ז אורביטלי, נצפה למצוא תיאור מתמטי או פיזיקלי דומה. נקרא לתיאור הזה בשם "המומנט המגנטי של הספין".

מספר כתמים בניסוי שטרן-גרלך

בסיס לתנ"ז אורביטלי כללי נתון, כזכור, ע"י המ"ע (מצבים עצמיים) של $\ \left\{{\hat {J^{2}}},{\hat {J_{z}}}\right\}$. למי שלא זוכר, נזכיר כי מדובר באופרטורים מתחלפים, לכן יש להם בסיס שבו ניתן לכתוב את שניהם כאופרטורים לכסינים. המספרים הקוונטיים המתאימים לאופרטורים האלה (=הע"ע, כלומר הערכים עצמיים של האופרטורים) הם:
לאופרטור $\ {\hat {J^{2}}}$ מתאים המספר הקוונטי: $\ \hbar j\left(j+1\right)$.
לאופרטור $\ {\hat {J_{z}}}$ מתאים המספר הקוונטי: $\ m$, כאשר $\ -j\leq m\leq j$ - סה"כ $\ 2m+1$ ערכי $\ m$ אפשריים.

• עבור תנ"ז אורביטלי $\ j=l$, כלומר $\ j\in \mathbb {Z}$. לכן, $\ \left(2j+1\right)$ שלם אי זוגי.
  

$\ ?$ כמה כתמים נראה על המסך (בניסוי שטרן-גרלך) עבור חלקיקים שונים?

• המקרה הכי פשוט: חלקיק אלמנטרי בעל ספין $\ {\frac {1}{2}}$, למשל אלקטרון נקודתי - 2 כתמים. הפיצול, במקרה זה, ינבע אך ורק כתוצאה מנוכחות הספין.

עבור חלקיק בלי ספין (שזה משהו שקיים רק בתיאוריה) נקבל מספר אי זוגי של כתמים.

• המקרה המסובך: חלקיק שמורכב מכמה חלקיקים, למשל אטום: במקרה זה התנ"ז מורכב הן מחלק אורביטלי והן מחלק ספיני, לכן יכול להתקבל כל מספר שהוא של כתמים, זוגי או אי זוגי.
  • אם מתקבל מספר זוגי של כתמים $\ \Leftarrow$ ספין $\ {\frac {1}{2}}$ מעורב בעניין.
  • אם מתקבל מספר אי זוגי של כתמים $\ \Leftarrow$ לא ניתן להסיק שום מסקנה...

פיצול Zeeman הבלתי רגיל

אם נשים אטום בעל המילטוניאן $\ H_{0}$ בשדה מגנטי הומוגני $\ {\vec {B}}=B{\hat {z}}$, נקבל הפרעה להמילטוניאן מהצורה $\ {\vec {W}}=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}$.
כזכור, רמת האנרגיה באטום תלוייה רק ב- $\ n$. במילים אחרות, לכל מצב $\ \left|n,l,m\right\rangle$ (עבור $\ n>1$) קיים ניוון ב- $\ m,l$. כתוצאה מההפרעה, נקבל פיצול ברמת האנרגיה.
ההפרעה באנרגיה : $\ {\hat {\gamma }}=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}\underbrace {=} _{{\vec {B}}=B{\hat {z}}}-\mu _{z}B_{z}=-\hbar mB$. נזכור: קיימים $\ 2j+1$ ערכי $\ m$ אפשריים, לכן נקבל $\ 2j+1$ ערכי אנרגיה אפשריים: $E_{n,m}=E_{n}-\hbar \gamma mB$. במילים אחרות, נקבל פיצול זימן ל- $\ 2j+1$ קווים.

• עבור $\ j=l$ (תנ"ז אורביטלי) $\ j\in \mathbb {Z}$, לכן נקבל מספר אי זוגי של קווים.
• פיצול למספר זוגי של קוים יכול להתקבל כאשר אנו בונים רמות אנרגיה של חלקיק בודד, לא של גוף "מסובך" כמו אטום.

המומנט המגנטי של הספין עבור חלקיקים אלמנטריים

• אנו מניחים, כרגע, שאין תנ"ז אורביטלי אלא תנ"ז ספיני בלבד.

- עבור פרוטון: $\ \gamma \cong 2.79{\frac {q}{m_{p}}}$ <br\> - עבור פרוטון: $\ \gamma \cong 1.91{\frac {q_{e}}{m_{p}}}$ (ונזכור ש- $\ m_{p}\approx m_{n}$) <br\> - המגנטון של בוהר: $\ \mu _{b}=-{\frac {q\hbar }{2m_{e}}}=-9.274\times 10^{-24}\left[{\frac {J}{T}}\right]$
- המגנטון הגרעיני (Nuclear Magneton): $\ \mu _{N}\equiv {\frac {q\hbar }{2m_{p}}}=5.051\times 10^{-27}\left[{\frac {J}{T}}\right]$
$\ \leftarrow$ עבור אלקטרון: $\ \gamma \cong 2\omega _{0}=-{\frac {q}{m_{e}}}$. אבל לא בדיוק...
ראשית, ברור שכל הנתונים הרשומים לעיל ידועים מתוצאות נסיוניות. אלא, שעבור אלקטרון ניתן גם להוכיח את ערכו של המקדם $\ \gamma$.
נכתוב את המומנט המגנטי של האלקטרון: $\ {\hat {\vec {\mu }}}=g_{e}\left({\frac {q}{2m_{e}}}\right){\hat {\vec {S}}}$, כאשר: $\ ={\frac {q}{2m_{e}}}=\gamma _{0}$ המקדם הגירו-מגנטי (כפי שקראינו בעבר), $\ ={\hat {\vec {S}}}$ ו- $\ g_{e}\equiv 2\left(1+a\right)$. <\br>

• כשרק התחילו לפתח את התורה, הסיק פאולי, כתוצאה ממדידות שונות, ש- $\ g_{e}=2$ (כלומר $\ a=0$). כמה שנים מאוחר יותר נתן דיראכ תיאור קוונטי למשוואת שרדינגר (שמוצג, באופן לא מפתיע, באמצעות משוואת דיראכ), באמצעותו ניתן להוכיח שאכן $\ g_{e}=2$. הסברה הרווחת היתה, שערכו של $\ g_{e}$ נובע מהספין.
  

עם הזמן, משהפכו המדידות יותר ויותר מדויקות, התברר כי $\ g_{e}$ אינו שווה ל-2 אלא קצת יותר.
התוצאות:
$\ {\begin{matrix}a_{theory}=0.001159652200\pm 40\times 10^{-10}\\a_{exp}=0.001159652193\pm 10\times 10^{-10}\end{matrix}}$

• משהו מעניין: $\ a$ נובע מקיום פוטונים וירטואליים, או יותר נכון - מהאינטרקציה שיש בינם לבין הספין. ואיכשהו זה קשור לכך שקוונטיזציה של שדה א"מ גורמת לפליטת פוטונים. למעשה גילוי אותו מקדם $\ a$ היה ההוכחה לקיומם של הפוטונים הוירטואלים.

תהודה מגנטית (1930 Rabi)

• באופן כללי: עבור חלקיק בעל ספין $\ {\frac {1}{2}}$, הבדיקה הרפואית הידועה בשם MRI - ראשי תיבות של magnetic resonance imaging - מודדת לא פחות ולא יותר מאשר את המקדם $\ \gamma$ של המוח.
  
• נתון ספין $\ {\frac {1}{2}}$ בשדה מגנטי $\ {\vec {B_{0}}}=B_{0}{\hat {z}}$. המילטוניאן המע': $\ {\hat {H}}=-{\hat {\vec {\mu _{0}}}}\cdot {\vec {B_{0}}}=-\mu _{0}B_{0}{\hat {\sigma _{z}}}$, כאשר מגדירים: $\ \mu _{0}\equiv \gamma {\frac {\hbar }{2}}$. ונגדיר גם: $\ \left(\gamma _{0}=-\gamma B_{0}\Leftrightarrow \right){\frac {\gamma 0}{2}}\equiv -{\frac {\mu _{0}B_{0}}{\hbar }}$

* נתון מצב פיזיקלי כללי כלשהו: $\ \left|\Psi _{0}\right\rangle =\alpha \left|+\right\rangle +\beta \left|-\right\rangle$ (וכמובן $\ \left|\alpha \right|^{2}+\left|\beta \right|^{2}=1$). ונרצה למצוא את ההתפתחות בזמן של המצב הזה:

עבור מומנט בכיוון $\ {\hat {z}}$ לא תהיה כל התפתחות בזמן (כי זהו גם כיוון השדה המגנטי). באופן כללי, נקבל פרסציה: $\ \left|\Psi \left(t\right)\right\rangle =\alpha e^{-i{\frac {\omega _{0}t}{2}}}\left|+\right\rangle +\beta e^{i{\frac {\omega _{0}t}{2}}}\left|-\right\rangle$. במילים אחרות, $\ \omega _{0}$ היא תדירות הפרסציה של הגוף.

(...המשך בשיעור הבא...)

הפרק הקודם: הרצאה מספר 1

עמוד ראשי: פיזיקה קוונטית 2 - מחברת קורס

ההרצאה הבאה: הרצאה מספר 3