פיזיקה תיכונית/מכניקה/תנועה הרמונית

תאוריה

נציג תנועה הרמונית פשוטה, כאשר אין כוח מרסן או כוח מאלץ.

גוף ינוע בתנועה הרמונית כאשר פועל עליו כוח מחזיר אשר פרופורציוני למיקומו ומנוגד לכיוון תנועתו. נבנה את משוואת האוסילטור ההרמוני, כלומר משוואת התנועה של הגוף

$-k{\vec {x}}=m{\vec {a}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

כאשר $k,m$ הנם קבועים לדוגמא, גוף שמחובר לקפיץ אופקי $k$ יהיה קבוע הקפיץ ו- $m$ מסת הגוף.

כמו כן ${\vec {x}}$ הנו העתק הגוף ו- ${\vec {a}}$ הנו תאוצת הגוף שהיא הנגזרת השניה של המיקום.

תנועה הרמונית מוגדרת כמערכת המצייתת למשוואה הדיפרנציאלית ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0$ הביטוי לעיל הנו משוואה דיפרנציאלית מסדר שני שפתרונה הוא מהצורה:

$x=A\cos(\omega t+\phi )$

כאשר $t$ הנו הזמן, $A$ היא האמפליטודה/המשרעת של הגוף ביחידות של מטרים - ערך המיקום המקסימלי אליו הגוף מגיע, $\phi$ הנה זוית המופע/פאזה שמקבלים אותה מתנאי התחלה ו- $\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$ , ערך זה $\omega$ נקרא התדירות הזויתית, מכיון שהתנועה חוזרת על עצמה נוכל לקבל את זמן המחזור של התנועה $T$ :

$T={\frac {2\pi }{\omega }}$ כלומר $T={\frac {2\pi }{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

את מהירות הגוף נקבל אם נגזור את הביטוי למיקום $x$ של הגוף:

$v=-\omega A\sin(\omega t+\phi )$ ואת הביטוי לתאוצת הגוף נקבל אם נגזור את בביטוי למהירות

$a=-\omega ^{2}A\cos(\omega t+\phi )$

ביטויים אלו נכונים אם התנועה ההרמונית מתבצעת בנקודת שיווי המשקל. במידה ונגדיר נקודת ייחוס אחרת נוסיף למיקום הגוף את המרחק בין נקודת שיווי המשקל לנקודת הייחוס.

תרגיל לדוגמא

גוף שמסתו $4kg$ מונח על משטח אופקי חלק ומחובר לקפיץ אופקי שקבועו $100{\frac {N}{m}}$ , מסיטים את הגוף מנקודת רפיון הקפיץ $2cm$ ומשחררים את הגוף.

מצאו את הגדלים הבאים: התדירות הזויתית $\omega$ של הגוף, מיקום הגוף לאחר דקה אחת.

נתחיל בתיאור התנועה, מכיון שעש כוח פרופורציוני למיקום ומנוגד לכיוון התנועה (הכוח שהקפיץ מפעיל, לפי חוק הוק ${\vec {F}}=k{\vec {x}}$) הגוף ינוע בתנועה הרמונית סביב נקודת רפיון הקפיץ, כעת מציאת $\omega$ על-ידי הקשר המתואר לעיל: $\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$ כאשר $k$ הנו קבוע הקפיץ, $m$ מסת הגוף נציב בביטוי ונקבל: $\omega =5\left({\frac {1}{s}}\right)$ .

כעת נמצא את מיקום הגוף, ידוע שבתנועה הרמונית פשוטה $x=A\cos(\omega t+\phi )$ מצאנו את $\omega$ , המשרעת $A$ הנה שיעור התארכות הקפיץ ההתחלתית $0.02m$ כי הקפיץ לא יתארך יותר מערך זה.

נשאר למצוא את $\phi$ , נמצא מתנאי התחלה, נציב $t=0$ בביטוי לאחר שהצבנו את $A,\omega$ וידוע שבזמן זה מיקום הגוף הוא $0.02m$ כלומר $A$ ונקבל: $0.02=0.02\cos(\phi )$ , לאחר פתירת המשוואה נקבל $\phi =0$ והביטוי למיקום הגוף ידוע, נדרש למצוא מה מיקומו לאחר דקה, נציב $t=60$ ונמצא את המיקום: $x=0.02\cos(5\cdot 60)$ ונקבל $x=0.01m$ , ביחס לנקודת רפיון הקפיץ.

משוואת המיקום יכולה להשתנות מפונקציה טריגונומטרית אחת לפונקציה טריגונומטרית אחרת. כגון בתנועה הרמונית פשוטה של קפיץ משוואת התנועה יכולה להשתנות בהתאם לנתונים ההתחלתיים, דוגמא לכך היא במקרה של קפיץ המתוח שיעור מסוים ברגע $t=0$ כאשר קיים תנאי זה משוואת התנועה מיוצגת באמצעות הפונקציה הטריגונומטרית $\cos$ , לעומת זאת כאשר אין מרחק התחלתי, רואים זאת בבעיות הרתע וההתנגשות הפלסטית או אלסטית משוואת התנועה תהיה פונקציה טריגונומטרית $\sin$ .