שיחה:חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים

• משפט: סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
• הוכחה: ללא הגבלת הכלליות נראה עבור סדרה מונוטונית יורדת חסומה an.
• בפרט an חסומה מלרע, ולכן לפי אקסיומת השלמות קיים לה אינפימום m.
• כעת נראה כי lim an = m. יהא אפסילון חיובי. אזי לכל n מתקיים:

an < m + epsilon

• הגדרנו את m כאינפימום של an, ולכן קיים N שעבורו aN > m- epsilon.
• הסדרה an מונוטונית יורדת, ולכן לכל n > N מתקיים כי an < m - epsilon.
• לכן, עבור epsilon קיים N המקיים:

m - epsilon < an < m + epsilon ==> | an - m | < epsilon

• ולכן הוכחנו כי סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת, ובפרט:

1. סדרה מונוטונית יורדת מתכנסת לאינפימום שלה. 2. סדרה מונוטונית עולה מתכנסת לסופרמום שלה.

• משפט: מכפלת סדרה חסומה בסדרה המתכנסת לאפס היא סדרה השואפת לאפס.
• הוכחה: נניח כי an חסומה ו- bn מתכנסת לאפס.
• לכן, לכל epsilon קיים N כך שלכל n > N יתקיים כי:

|bn| < epsilon ==> -epsilon < bn < epsilon

• כמו כן, an חסומה, כלומר קיים M ו- m כך שלכל n יתקיים:

m < an < M

• נגדיר T = max(M, -m ואז יתקיים כי לכל n:

-T < an < T

• נתבונן בסדרת המכפלה, יהא epsilon. נגדיר כי P הוא epsilon / T.
• יהי N המתאים עבור P מהגדרת גבול bn.
• אזי, לכל n > N יתקיים:

-T * P < an * bn < T * P ==> | an * bn | < T * P

• נציב במקום P את epsilon / T ונקבל כי לכל n > N:

| an * bn | < epsilon