שיחה:חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

למה "מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות" לא מופיע כערך בפני עצמו? המושגים האלה חשובים ללימוד נושאים רבים פרט לחשבון אינפי'. יובל מדר

אני מסכים באופן עקרוני, אבל כדאי לזכור שכשמציגים את הנושא כערך בפני עצמו יש מקום להרחבה גדולה יותר מאשר הייתה כאן. אם תשים לב, בספרי לימוד רבים במתמטיקה מביאים בהתחלה חזרה קצרה על תורת הקבוצות מכיוון שבסימונים שלה משתמשים בספר. אמנם, בספרי לימוד "רגילים" אין אפשרות לקשר לדף של ספר הלימוד של תורת הקבוצות כמו שאפשר כאן, אבל בכל זאת אנחנו רוצים שכל ספר יעמוד פחות או יותר בפני עצמו. גדי אלכסנדרוביץ' 12:43, 22 אוגוסט 2005 (UTC)

אז, כשתתחיל הכתיבה על אלגברה ליניארית, נגיד, יווצר גם לשם עמוד המכיל מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות? זה נשמע לי קצת מיותר...

וגם אם העמוד האחר יועתק מהעמוד הזה, המצב יהיה מסורבל למדי כיוון שיהיה קשה לדאוג לסנכרון בין העמודים.

השאלה שלך צודקת ונכונה. מושגים אלה, אכן מן הראוי שיופיעו בקורס "תורת הקבוצות".

אלא מאי? בבואך ללמוד אינפי, עליך לדעת מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות. לכן, נראה לי שעדיף לשים את הדף הזה כאן, מאשר לכתוב בתחילת הפרק, למשל "לפני שאתה לומד אינפי, כדאי לך ללמוד כמה מושגים בתורת הקבוצות". מה גם, שכל קורס באינפי (או בחדו"א) פותח בהסברים הבסיסיים הללו.

בנוסף, בפרק זה מושם דגש על הדברים שהם הכי רלוונטיים לאינפי, ופחות לתורת הקבוצות באופן כללי.

ולבסוף, אני מתעתדת להעביר לויקי את הקורס שלקחתי בתורת הקבוצות. שם, יהיו כל המושגים והמונחים הנכללים בפרק זה, אבל בפירוט רב יותר ועם הסברים הרבה יותר מדוייקים. רותם 12:57, 22 אוגוסט 2005 (UTC)

ובכל זאת, כמו ששאלתי, האם לא היה עדיף לכתוב ספר נפרד בתורת הקבוצות שהקורא בספר החשבון האינפיניטסימלי יופנה לפרקים ספציפיים בו?

כדאי לנו לנצל את תכונותיו הייחודיות של ויקיספר ולא להשתעבד לדרך המקובלת לכתיבת ספרי לימוד רגילים. יובל מדר

יש שני טיעונים נגד זה: הראשון, שלא כל מי שלומד אינפי צריך בדיוק את מה שמלמדים בפרק של תורת הקבוצות המקביל וחבל להעמיס עליו פרטים מיותרים. השני, שאנחנו רוצים שספר יעמוד בפני עצמו ויהיה יחידה אחת שלא חייבת קישור לספרים אחרים. הטיעון הראשון די קלוש ותלוי במה שבדיוק כותבים (במקרה הנוכחי, לדעתי עדיף כבר שהכל יהיה בספר של תורת הקבוצות אם כי אני הייתי כותב את המבוא כולו טיפה שונה) אבל הטיעון השני הוא די חזק, ואנחנו צריכים לשאול את עצמנו אם מבחינה אידאולוגית אנחנו באמת רוצים ספרים שעומדים בזכות עצמם (ואז גם ניתן להדפיס אותם כיחידה אחת, למשל). גדי אלכסנדרוביץ' 07:15, 23 אוגוסט 2005 (UTC)

אני רוצה להבהיר שוב את ההצעה שלי - אני לא מציע שכל מי שילמד אינפי ילמד באותה הזדמנות את כל החומר בויקיספר העוסק בתורת הקבוצות. אני מציע שהספר יפנה אותו לפרקים ספציפיים (בדרך כלל הראשוניים ביותר) בספר כאשר יהיה צורך באותו הידע. ברור לי שרוב החומר שיופיע באותו הספר לא יהיה רלוונטי.

בנוגע לטיעון השני, מדובר בטיעון טוב בהחלט, אבל הוא קצת בעייתי, כיוון שממילא לא יהיה ניתן להדפיס את הספר כולו "במכה אחת" אלא לעבור פרק-פרק, כי כך הספר שמור בויקיספר. ואם כן, איזה נזק יהיה בכך שברצף הפרקים ישולבו גם כמה מספרים אחרים? יובל מדר

זה לא רע, אם בפועל הפרק שמשלבים באמת מתמקד במה שצריך לדעת ולא גולש למקומות אחרים. הכי טוב לנסות ולכתוב פרק כזה בפועל. במקרה הנוכחי, מאוד לא היה מוצא חן בעיניי שמה שנמצא בערך שעליו אנחנו מדברים כאן יהיה גם בספר של תורת הקבוצות בצורה הנוכחית שלו. אם רותם תיתן לי את רשותה אני אקח את הערך הזה, אשכתב אותו ואנסה להפוך אותו לפרקים הראשונים בספר של ממש על תורת הקבוצות. גדי אלכסנדרוביץ' 07:45, 23 אוגוסט 2005 (UTC)

אה, אפרופו, זה נחשב ללא מנומס להצטרף לכתיבת ספר שנכתב על ידי כותב אחר? (בשונה מויקיפדיה, למשל, שם שבעה כותבים שונים יכולים לערוך את אותו הערך במשך השעתיים הראשונות לקיומו) או שגם כן התפיסה הרווחת היא "כל המרבה הרי זה משובח"? יובל מדר

אין כללים כתובים, אבל מכיוון שכתיבת ספר צריכה להיות הרבה יותר אחידה מאשר כתיבת ערך (שיש הטוענים שגם כן צריך להיכתב בצורה אחידה) אני חושב שתיקונים קטנים הם רצויים, אבל שינויים משמעותיים הם משהו שצריך להתדיין עליו קודם. במקרה הזה למשל אני רוצה לקחת את הטקסט שרותם כתבה, לחלק אותו לכמה חלקים וכנראה גם לשכתב ולהרחיב. זה שינוי מאוד משמעותי. גדי אלכסנדרוביץ' 08:51, 23 אוגוסט 2005 (UTC)

לדעתי יש כמה טיעונים התומכים בהשארת המבוא לתורת הקבוצות בפתיחה לאינפי:

1. כאן הדברים נכתבים בתמציתיות יתרה, מכיוון שאין המטרה ללמד את תורת הקבוצות, אלא רק לתת את הכלים הבסיסיים, מכיוון שהם נחוצים ללימודי אינפי. בקורס תורת הקבוצות, כאמור, הדברים ייכתבו בהרחבה יתרה.
2. אפשר, כמובן, להוסיף הפניות, אבל יש עם זה שתי בעיות: הראשונה היא זו שנאמרה למעלה, קרי - בתורת הקבוצות החומר הזה יהיה רשום בצורה הרבה יותר מורחבת ומפורטת, ומי שלומד אינפי וזמנו דוחק עלול לבזבז את זמנו בלמידת מושגים שהוא אינו זקוק להם. והשני נוגע להדפסה - נניח שאדם מסויים ירצה להדפיס את הספר באינפי (בשאיפה שזה אכן יגיע להיות ספר שלם), ילך וידפיס אותו. מאוחר יותר, לכשיתחיל ללמוד, הוא יראה פתאום שחסר לו חומר ושיש הפניות באמצע הפרק. אם לאותו אדם יש מחשב ואינטרנט בבית - ניחא. אבל אם אין לו? הוא ייאלץ ללכת שוב לחנות או לחבר או למקום בו יש לו גישה לאינטרנט, לפתוח את הספר, ולעבור על כולו כדי לא לפספס אך אחד מהקישורים! ובסופו של דבר, ייצא שכרו בהפסדו.
3. ודבר אחרון: כשאני קוראת משהו, אני מעדיפה שהקריאה תהיה רציפה. אם אני קוראת ונתקלת בהרבה קישורים, למשל, אני עלולה לצאת מריכוז, לא לזכור איפה הייתי ומה למדתי, וכולי... הרבה יותר נוח (לדעתי כמובן) שכל החומר יהיה מוצג לפני כיחידה אחת, וכך לא אאלץ לבזבז זמן וכוחות (ריכוז) על דברים מיותרים. רותם 12:22, 23 אוגוסט 2005 (UTC)
   

האורך כן קובע

...והערך הזה ארוך מדי וכבר מזמן לא עוסק רק במושגים בסיסיים בתורת הקבוצות. צריך להתחיל לחלק, ככה ממש לא נעים לקרוא את הערך. גדי אלכסנדרוביץ' 20:03, 23 אוגוסט 2005 (UTC)

ככה יותר טוב? רותם 22:27, 23 אוגוסט 2005 (UTC)

אני לא בטוח שלא נסחפת קצת עם כמות החומר. אולי האינפי שלי חלוד, אבל בשביל מה צריכים תלמידי אינפי לדעת אינדוקציות מתמטיות ומה זה מספרים זרים, למשל? גדי אלכסנדרוביץ' 03:07, 24 אוגוסט 2005 (UTC)

אינדוקציה צריך בשביל הוכחות, אם כי אני מודה שכרגע קשה לי להיזכר באילו הוכחות באינפי בדיוק משתמשים בה... הכל אופן, זהו כלי מתמטי בסיסי שכדאי להכיר. לגבי מספרים זרים - רק בשביל ההוכחה לגבי שורש 2. אני מקווה, שההוכחה הזו לא נראית לך מיותרת...

ולגבי השאר: אולי באמת אשנה את שם הפרק. כידוע, באינפי 1 יש 3 פרקים: סדרות, פונקציות, ונגזרות. אולי פשוט אשנה את שם הפרק ל"מבוא". רותם 12:03, 24 אוגוסט 2005 (UTC)

במחשבה שנייה: הרגע הצצתי שוב ברשימת ראשי הפרקים. פרט לקטעים, מה מהנושאים אינו שייך לקבוצות? מס' רציונליים ואי-רציונלים, כמתים, אינדוקציה, בר מניה ועוד - הכל הם נושאים בתורת הקבוצות! אין הכרח שמבוא יהיה קצר, במיוחד כשהוא בא, כמו במקרה הזה, לתת לקורא בסיס להמשך הלימוד. רותם 12:14, 24 אוגוסט 2005 (UTC)

בוודאי שההוכחה לגבי שורש 2 מיותרת. בשביל מה צריך את זה מי שלומד אינפי? ללא ספק מדובר על פרט מידע מעניין מאוד, וההוכחה היא אחת מהיפות במתמטיקה (לפחות ע"פ ג'.ה. הארדי) אבל מה הקשר של זה לאינפי? אם אנחנו כותבים ספר אינפי אנחנו צריכים להתמקד באינפי ולא להתחיל להוסיף מכל הבא ליד פנימה.

ככלל, לדעתי הדרך הטובה ביותר לכתוב "פרקי הכנה" כאלו היא להתחיל לכתוב את האינפי עצמו, ובכל פעם שאת רואה שאת צריכה משהו, להוסיף אותו לפרקי ההכנה.

אני לא זוכר שום דבר שדורש אינדוקציה באינפי 1 (אפילו בבולצאנו ויירשטראס לא צריך). כמובן שייתכן מאוד שאני טועה כי יש הרבה הוכחות.

כמתים הם נושא בלוגיקה. ההבדל בין בר מנייה ולא בר מנייה הוא נושא לא בסיסי בתורת הקבוצות. מס' רציונליים ואי רציונליים נראים לי קשורים יותר לאלגברה מאשר לתורת הקבוצות.

הצרה הגדולה במבוא כמו זה הוא שהוא מכביד מאוד על הקורא שבא ללמוד אינפי ובמקום זה מוצא את עצמו לומד תורת הקבוצות בצורה שטחית אבל עמוסה, ואחר כך לא משתמש בחצי מהדברים שהוא למד. ומה אם הוא לא מצליח להבין עד הסוף חלק מהדברים שבמבוא? שיתייאש ויפסיק לקרוא? גדי אלכסנדרוביץ' 12:23, 24 אוגוסט 2005 (UTC)

אני שוב לא מסכימה איתך. בעיני, ספר לימוד חייב להיות מקיף ככל האפשר, ולא להספתק בראשי פרקים. ספר לימוד (שוב: לדעתי) צריך להכיל הסברים מקיפים ודוגמאות מפורטות, ולא להיות תמציתי.

ההוכחה של שורש 2, פרט להיותה יפה, היא כן חשובה - ראשית, כי היא מראה לנו (כאמור) שאכן קיים כזה דבר "מספר לא רציונלי". פרט לכך, הקורא לומד את רעיון ההוכחה בשלילה, ומקבל קצת תחושה לגבי אחת הדרכים בה הוכחה יכולה להיראות. יכול להיות גם, שהקורא יתלהב מההוכחה, ושהיא דוקא תעודד אותו ללמוד עוד בנושא!

לגבי ההצעה שלך לכתיבת פרקי ההכנה: אני מכירה את עצמי, ואם אלך על פי עצתך אני יודעת איך הפרקים האלה ייראו.. ודי לחכימא.

אם הקורא לא מצליח להבין עד הסוף חלק מהנושאים שבמבוא, הוא מוזמן לקרוא אותם שוב. מה גם, שזהו פרק יחסית קל, ומי שלא מבין אותו לא סביר להניח שיצליח להבין דברים אחרים באינפי. ובכל מקרה, אני מאמינה שצריך להתחיל את הקורס עם בסיס מספיק רחב. לדעתי כן משתמשים בדברים הנלמדים במבוא, ובכל אופן הם תמיד נמצאים איפהשהו ברקע במהלך כל לימודי האינפי.

לגבי כמתים ומספרים רציונלים ואי-רציונליים - לפחות לי נראה שהם קשורים גם לקבוצות. בכלל, כל הנושא של בניית המספרים שייך לקבוצות. אם זה נראה לך יותר מתאים, לא איכפת לי לשנות את שם הפרק ל"מבוא". רותם 12:39, 24 אוגוסט 2005 (UTC)

הנושא של בניית המספרים קשור יותר לאלגברה מאשר לקבוצות. מה שמעניין אותנו בבניית המספרים הוא פחות המראה שלהם, ויותר הפעולות האלגבריות שלהם (איך לחבר ולחסר רציונליים, למשל). גם המוטיבציה לבנייה שלהם נובעת ממגבלות אלגבריות (לטבעיים אין נגדי, לשלמים אין הופכי, לרציונליים אין פתרון למשוואה $\ x^{2}-2=0$, לממשיים אין פתרון למשוואה $\ x^{2}+1=0$). כמובן שהבנייה של השלמים והרציונליים היא דבר שראוי ללמוד גם בתורת הקבוצות בתור שימוש של יחס שקילות, והבנייה של הממשיים היא משהו שראוי להילמד באינפי (למעשה, התכונות של הממשיים הם המבוא האמיתי שלדעתי צריך להיות בלימוד אינפי).

אם היינו מנסים בכל ספר לימוד שיהיה "מקיף ככל האפשר" היינו גומרים כמו ראסל, עם ספר מפלצתי בגודלו שאיש לא קורא. חשוב לא להעמיס על הקורא בהרבה פרטים שלא יועילו לו, ושמגיע להם טיפול מקיף משל עצמם. אם ממש חבל לך שמשהו לא נכנס, אפשר להכניס אותו כחומר העשרה. גדי אלכסנדרוביץ' 13:03, 24 אוגוסט 2005 (UTC)

אולי לא צריך להעמיס על הקורא, אבל גם לגרוע ממנו לא צריך. הרי המטרה היא לא שלאחר הקריאה כאן הקורא יאלץ להשלים את החומר ממקורות אחרים, אלא לספק לו כאן את כל החומר הדרוש לו. בכל מקרה, מאחר ולא סביר שנגיע להסכמה, בוא נעשה ככה: לכשאסיים את פרק המבוא כולו, תגיד לי איזה חלק לדעתך צריך להישאר ואיזה צריך להיות ב"חומר העשר", ונראה אז. רותם 13:45, 24 אוגוסט 2005 (UTC)

חס ושלום. רק כשיסתיים ספר האינפי כולו אפשר יהיה לראות מה מהמבוא לא היינו צריכים. גדי אלכסנדרוביץ' 15:02, 24 אוגוסט 2005 (UTC)

עוד לא עברתי על הספר (על אף שאני מתכוון לעשות זאת) אבל רציתי רק להעיר שגם אני לא זוכר שנתקלתי באינדוקציה ובמושג "קבוצה בת מניה" באינפי. ואם אכן אין בהם צורך באינפי, גם לדעתי אין סיבה להתייחס אליהם "להעשרת הקורא" בפרק מבוא. בשביל זה יש "קורסים" אחרים. אם בכל זאת תמצאי שאת רוצה להשאיר אותם, עדיף שתשימי אותם ב"נספח" ולא בפרק המבוא. יובל מדר

בינתיים, כל מה שכתוב פה נמצא במחברת הקורס שלי, כלומר למדתי את זה בתחילת הקורס "אינפי 1". אני עדיין חושבת שלמי שלומד אינפי חשוב שתהיה תחושה כללית של מונחים כאלה ושל עולם המספרים הממשיים, שהרי בהם עוסק הקורס. בכל אופן, הבה נחכה שאסיים את הפרק. בסוף, אולי נעשה הצבעה על הנושאים או משהו כזה - מה להשאיר במבוא ומה להעביר לפרק "נספח", "העשרה" וכולי. רותם 16:30, 24 אוגוסט 2005 (UTC)

מה עם פונקציות?

הפונקציות הן מושג בסיסי לא רק באינפי, גם במתמטיקה בכלל, ובתורת הקבוצות בפרט. אם כבר כותבים כאן מבוא, כדאי מאוד להקדיש חלק לפונקציות. גדי אלכסנדרוביץ' 05:26, 1 ספטמבר 2005 (UTC)

אף על פי שיש פרק שלם לפונקציות, אני חושבת שאתה צודק. בתירגול (שטרם הוספתי) יש משהו קטן על פונקציות - לא יותר משורה או שתיים. אם להערכתך זה לא יספיק, אני אשמח אם תיקח על עצמך לכתוב מקטע קטן בנושא פונקציות במבוא. רותם 11:47, 1 ספטמבר 2005 (UTC)

מפחיד

זה ממש קשה, לזה התכוונתי שאני צריך פישוט. אולי אפשר לכתוב ספר של "מכינה לקורסים במתמטיקה"?

Nir 19:39, 22 יולי 2006 (IDT)

שמע, להגיד הרבה פעמים "זה ממש קשה" לא יעזור להבין מה בדיוק הנקודות שמסבכות אותך. נסה לפרט. גדי אלכסנדרוביץ' 22:38, 22 יולי 2006 (IDT)

העברת תתי פרקים

בהתאם לדיון שנערך כאן ובהמשך במזנון, ובעקבות יצירת הספר מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית יועברו מספר תתי פרקים מכאן לספר "מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית". הודעה מתאימה המפנה את הקוראים לקרוא בספר ההוא תתווסף לערך. גיל 15:20, 20 באוקטובר 2006 (IST)

אני לא בטוחה למה אתה מתכוון כשאתה אומר "להעביר", אבל אני מקווה שאתה מתכוון ל"להעתיק". אם כך - מצויין. אם לא, אבקש ממך לא להעביר את הפרקים, אלא רק להעתיק אותם. תודה! רותם 19:02, 20 באוקטובר 2006 (IST)