שיחה:מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון

חזקות

כדאי להראות את חוקי החיבור והחיסור של חזקות לפני שמדברים על חזקות שליליות וחזקת 0, מהסיבה הפשוטה שאז ההגדרות נראות הרבה פחות שרירותיות ואפשר להסביר למה הן כאלו בלי להתחיל לגמגם על "צורה כללית במצבים שונים". אין קושי רב להצדיק רעיונית את חוקי החיבור והחיסור גם כאשר מכירים רק חזקות טבעיות.

כמו כן, לא הבנתי את המשפט " חזקות עם מעריך שלילי מוגדרות גם עבור מעריכים שאינם שלמים באותו אופן בדיוק.". יש הסבר? גדי אלכסנדרוביץ' 18:35, 30 אוגוסט 2005 (UTC)

בעיה במעריכים רציונליים

אני מצטט מהערך:

$a^{r}=a^{\frac {n}{m}}=a^{{\frac {1}{m}}\cdot {n}}={(a^{\frac {1}{m}})}^{n}={({\sqrt[{m}]{a}})}^{n}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}$

יש כמובן בעיה בשוויון האחרון. הנה, תראו קסם שיראה לכם שכל העניין של המספרים המרוכבים מיותר:

$\ i={\sqrt {-1}}=(-1)^{\frac {1}{2}}=(-1)^{\frac {2}{4}}={\sqrt[{4}]{(-1)^{2}}}={\sqrt[{4}]{1}}=1$

וואלה!

לדעתי צריך להוריד את השוויון האחרון ולדבוק בהגדרה. כלומר, צריך להיות

$a^{r}=a^{\frac {n}{m}}=a^{{\frac {1}{m}}\cdot {n}}={(a^{\frac {1}{m}})}^{n}={({\sqrt[{m}]{a}})}^{n}$

יופי

טוב שלום לכולם ותודה רבה על ההתייחסות,
איך עכשיו?

שלום ותודה על כל הדגים דרורק 21:07, 30 אוגוסט 2005 (UTC)

אני עדיין חושב שכדאי מאוד להעביר את כללי החיבור והחיסור של חזקות כך שיהיו לפני חזקות שלמות. ברשותך אני אעשה כמה שכתובים בערך כולו. גדי אלכסנדרוביץ' 05:06, 31 אוגוסט 2005 (UTC)

מי שקורא את הערך לא בהכרח יודע מה זה חזקה. אתה לא חושב שכדאי קודם לתת לו מושג על מה מדובר לפני שמתחילים לדבר על כללים של משהו שהוא לא מבין? בכל אופן, אני גם לא מאוד מרוצה מהסדר של הערך אז אם יש לך כוח לנסות לשכתב לי אין בעיה עם זה, במקרה הכי גרוע, הגרסאות הקודמות עדיין כאן... דרורק 08:35, 31 אוגוסט 2005 (UTC)

אגב, תרגילים

אגב, משהו ששכחתי,
אם יש למישהו כוח לכתוב תרגילים (חשוב מאוד), אנא עשו זאת, אבל בבקשה לשמור על הכללים הבאים:

1. תרגילים בסדר קושי מונוטוני עולה
2. תרגילים לפי נושאים
3. תשובות

ושוב תודה רבה לכל מי שעוזר. דרורק 21:12, 30 אוגוסט 2005 (UTC)

הסרת ההערה

"הערה: כל התכונות הרשומות מטה נובעות מהעובדה שהמספרים הממשיים מהווים שדה. מי שמעוניין ללמוד עוד על מושג השדה, מוזמן לגשת לקורס "אלגברה לינארית" ו"מבוא לחוגים ושדות"."

לדעתי אין להערה הזו מקום כאן, מהסיבות הבאות:

1. היא פשוט לא נכונה. אנחנו בכלל לא מדברים כאן על המספרים הממשיים אלא לכל היותר על הרציונליים (שגם הם שדה, אמנם) וחלק מהתכונות מיוחסות בכלל למספרים השלמים שהם רק חוג.
2. היא הופכת ביצה ותרנגולת: בגלל שהתכונות מתקיימות עבור המספרים הרציונליים, ניתן בכלל לומר שהמספרים הרציונליים הם שדה. הסיבה שהתכונות הללו מתקיימות היא לא כי החלטנו שהרציונליים יהיו שדה ואמרנו "לא להתווכח", אלא בגלל שבנינו את הרציונליים בצורה מסויימת והגדרנו את פעולות החיבור והכפל בצורה מסויימת כדי שהתכונות הללו יתקיימו. מבחינה היסטורית אפילו זה לא נכון: התכונות הללו התגלו במהלך מחקר של התכונות שמתקיימות על ידי פעולות החיבור והכפל שהוגדרו בשל צרכים מעשיים. מושג ה"שדה" עוצב מלכתחילה כדי להכליל את התכונות האלגבריות שיש למספרים הרציונליים והממשיים.
3. היא מפחידה שלא לצורך: אנשים שלומדים את חוקי החשבון הם לרוב תלמידים שלכל היותר מתחילים עכשיו תיכון, וייתכן גם מוקדם יותר. אין צורך להכניס להם קורסים אוניברסיטאיים (ובפרט מבחו"ש, שאני לא בטוח שנקרא באותו השם בכל האוניברסיטאות) לפרצוף. בכלל, תלמיד שהוא ברמה של קריאת הערך הזה וינסה ללמוד מבחו"ש עלול לפרוץ בבכי (אני יודע שאני הייתי פורץ בבכי). גדי אלכסנדרוביץ' 11:36, 31 אוגוסט 2005 (UTC)

אוקי, קיבלתי. רותם 12:25, 31 אוגוסט 2005 (UTC)

הערה

אולי אפשר להוסיף הערה להרחבה בסגנון: המעוניינים להרחיב בנושא זה ברמה גבוהה יותר (ברמה אוניברסיאית) מוזמנים לעיין ב...

וגו'.

דרורק 12:51, 31 אוגוסט 2005 (UTC)

אני מתלבטת האם כדאי להוסיף את ההערה עכשיו, או לחכות קודם שהקורסים יהיו ברשת... רותם 13:18, 31 אוגוסט 2005 (UTC)

אולי באמת כדאי לחכות עם זה בנתיים.