מטטלת הפוכה
באיור מופיעה מטוטלת הפוכה. אות הכניסה הוא הכוח F, ומשתני המצב הם θ, ω, T, כאשר T הוא המומנט המופעל על ידי המנוע הנמצא בנקודת החיבור של המוט לקרונית. גודל המומנט מתקבל באמצעות בקר G שמקבל כקלט את האות F:
F
→
G
→
T
{\displaystyle \ F\to G\to T}
נניח כי הבקר הוא מהצורה:
G
=
k
s
L
+
R
{\displaystyle \ G={k \over sL+R}}
משוואות התנועה הן:
{
m
l
2
θ
¨
=
T
+
m
g
l
sin
θ
F
k
s
L
+
R
=
T
⇒
L
T
˙
+
R
T
=
k
F
{\displaystyle \ {\begin{cases}ml^{2}{\ddot {\theta }}=T+mgl\sin \theta \\F{k \over sL+R}=T\ \Rightarrow \ L{\dot {T}}+RT=kF\end{cases}}}
ולכן משתני המצב הם:
{
θ
˙
=
ω
ω
˙
=
T
m
l
2
+
g
l
θ
T
˙
=
k
F
−
R
T
L
{\displaystyle \ {\begin{cases}{\dot {\theta }}=\omega \\{\dot {\omega }}={T \over ml^{2}}+{g \over l}\theta \\{\dot {T}}={kF-RT \over L}\end{cases}}}
כך שמשוואת המצב היא:
(
θ
˙
ω
˙
T
˙
)
=
[
0
1
0
g
l
0
1
m
l
2
0
0
−
R
L
]
⏟
A
(
θ
ω
T
)
+
(
0
0
k
L
)
⏟
B
F
{\displaystyle \ {\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}\\{\dot {\omega }}\\{\dot {T}}\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&1&0\\{g \over l}&0&{1 \over ml^{2}}\\0&0&-{R \over L}\end{bmatrix}} _{A}{\begin{pmatrix}\theta \\\omega \\T\end{pmatrix}}+\underbrace {\begin{pmatrix}0\\0\\{k \over L}\end{pmatrix}} _{B}F}
נמצא את הפולינום האופייני:
|
s
I
−
A
|
=
(
s
+
R
L
)
[
s
2
−
g
l
]
{\displaystyle \ |sI-A|=\left(s+{R \over L}\right)\left[s^{2}-{g \over l}\right]}
אחד הקטבים חיובי, ולכן המערכת לא יציבה. נבדוק בקירות:
r
a
n
k
[
A
|
A
B
|
A
2
B
]
=
k
L
[
0
0
1
m
l
2
0
1
m
l
2
−
R
m
l
2
L
1
−
R
L
R
2
L
2
]
=
3
=
dim
x
→
{\displaystyle \ rank[A|AB|A^{2}B]={k \over L}{\begin{bmatrix}0&0&{1 \over ml^{2}}\\0&{1 \over ml^{2}}&-{R \over ml^{2}L}\\1&-{R \over L}&{R^{2} \over L^{2}}\end{bmatrix}}=3=\dim {\vec {x}}}
ולכן המערכת בקירה.
נניח משוב מצב מלא בחוג סגור, כך ש:
F
=
−
K
x
{\displaystyle \ F=-Kx}
רק כאן מתחיל שלב הצבת הקטבים...
ונמצא מטריצה K כזו שקטבי החוג הסגור יהיו:
s
1
=
−
10
,
s
2
,
3
=
−
1
2
±
j
3
2
{\displaystyle \ s_{1}=-10,\ s_{2,3}=-{1 \over 2}\pm j{{\sqrt {3}} \over 2}}
על ידי הצבה למשוואת המצב:
F
=
−
K
x
=
−
[
K
1
K
2
K
3
]
(
θ
ω
T
)
⇒
B
F
=
k
L
[
0
0
0
0
0
0
−
K
1
−
K
2
−
K
3
]
(
θ
ω
T
)
{\displaystyle \ F=-Kx=-[K_{1}\quad K_{2}\quad K_{3}]{\begin{pmatrix}\theta \\\omega \\T\end{pmatrix}}\quad \Rightarrow \quad BF={k \over L}{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\-K_{1}&-K_{2}&-K_{3}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}\theta \\\omega \\T\end{pmatrix}}}
הוספת הביטוי האחרון למטריצה A תתן לנו את משוואת המצב של החוג הסגור:
(
θ
˙
ω
˙
T
˙
)
=
[
0
1
0
g
l
0
1
m
l
2
−
k
L
K
1
−
k
L
K
2
−
k
L
K
3
−
R
L
]
⏟
A
C
L
(
θ
ω
T
)
{\displaystyle \ {\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}\\{\dot {\omega }}\\{\dot {T}}\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&1&0\\{g \over l}&0&{1 \over ml^{2}}\\-{k \over L}K_{1}&-{k \over L}K_{2}&-{k \over L}K_{3}-{R \over L}\end{bmatrix}} _{A_{CL}}{\begin{pmatrix}\theta \\\omega \\T\end{pmatrix}}}
על ידי תוכנה (מייפל למשל), נקבל בקלות את הפולינום האופייני:
Δ
(
s
)
=
s
3
+
k
K
3
+
R
L
s
2
+
k
K
2
−
g
L
m
l
L
m
l
2
s
+
k
K
1
−
g
m
l
k
K
3
−
g
m
l
R
L
m
l
2
{\displaystyle \ \Delta (s)=s^{3}+{kK_{3}+R \over L}s^{2}+{kK_{2}-gLml \over Lml^{2}}s+{kK_{1}-gmlkK_{3}-gmlR \over Lml^{2}}}
ואילו הפולינום הדרוש הוא:
Δ
(
s
)
=
(
s
+
10
)
(
s
+
1
2
−
j
3
2
)
(
s
+
1
2
−
j
3
2
)
=
s
3
+
11
s
2
+
11
s
+
10
{\displaystyle \ \Delta (s)=(s+10)(s+{\tfrac {1}{2}}-j{\tfrac {\sqrt {3}}{2}})(s+{\tfrac {1}{2}}-j{\tfrac {\sqrt {3}}{2}})=s^{3}+11s^{2}+11s+10}
כך שמהשוואת מקדמים מתקבל:
{
K
1
=
m
l
L
k
(
11
g
+
10
l
)
K
2
=
m
l
L
k
(
g
+
11
l
)
K
3
=
−
R
+
11
L
k
{\displaystyle \ {\begin{cases}K_{1}=ml{L \over k}(11g+10l)\\K_{2}=ml{L \over k}(g+11l)\\K_{3}={-R+11L \over k}\end{cases}}}