תורת הבקרה/הצבת קטבים

(להשלים)

מטלאב

K=place(...)

דוגמה

מטטלת הפוכה

באיור מופיעה מטוטלת הפוכה. אות הכניסה הוא הכוח F, ומשתני המצב הם θ, ω, T, כאשר T הוא המומנט המופעל על ידי המנוע הנמצא בנקודת החיבור של המוט לקרונית. גודל המומנט מתקבל באמצעות בקר G שמקבל כקלט את האות F:

$\ F\to G\to T$

נניח כי הבקר הוא מהצורה:

$\ G={k \over sL+R}$

משוואות התנועה הן:

$\ {\begin{cases}ml^{2}{\ddot {\theta }}=T+mgl\sin \theta \\F{k \over sL+R}=T\ \Rightarrow \ L{\dot {T}}+RT=kF\end{cases}}$

ולכן משתני המצב הם:

$\ {\begin{cases}{\dot {\theta }}=\omega \\{\dot {\omega }}={T \over ml^{2}}+{g \over l}\theta \\{\dot {T}}={kF-RT \over L}\end{cases}}$

כך שמשוואת המצב היא:

$\ {\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}\\{\dot {\omega }}\\{\dot {T}}\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&1&0\\{g \over l}&0&{1 \over ml^{2}}\\0&0&-{R \over L}\end{bmatrix}} _{A}{\begin{pmatrix}\theta \\\omega \\T\end{pmatrix}}+\underbrace {\begin{pmatrix}0\\0\\{k \over L}\end{pmatrix}} _{B}F$

נמצא את הפולינום האופייני:

$\ |sI-A|=\left(s+{R \over L}\right)\left[s^{2}-{g \over l}\right]$

אחד הקטבים חיובי, ולכן המערכת לא יציבה. נבדוק בקירות:

$\ rank[A|AB|A^{2}B]={k \over L}{\begin{bmatrix}0&0&{1 \over ml^{2}}\\0&{1 \over ml^{2}}&-{R \over ml^{2}L}\\1&-{R \over L}&{R^{2} \over L^{2}}\end{bmatrix}}=3=\dim {\vec {x}}$

ולכן המערכת בקירה.

נניח משוב מצב מלא בחוג סגור, כך ש:

$\ F=-Kx$

רק כאן מתחיל שלב הצבת הקטבים...

ונמצא מטריצה K כזו שקטבי החוג הסגור יהיו:

$\ s_{1}=-10,\ s_{2,3}=-{1 \over 2}\pm j{{\sqrt {3}} \over 2}$

על ידי הצבה למשוואת המצב:

$\ F=-Kx=-[K_{1}\quad K_{2}\quad K_{3}]{\begin{pmatrix}\theta \\\omega \\T\end{pmatrix}}\quad \Rightarrow \quad BF={k \over L}{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\-K_{1}&-K_{2}&-K_{3}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}\theta \\\omega \\T\end{pmatrix}}$

הוספת הביטוי האחרון למטריצה A תתן לנו את משוואת המצב של החוג הסגור:

$\ {\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}\\{\dot {\omega }}\\{\dot {T}}\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&1&0\\{g \over l}&0&{1 \over ml^{2}}\\-{k \over L}K_{1}&-{k \over L}K_{2}&-{k \over L}K_{3}-{R \over L}\end{bmatrix}} _{A_{CL}}{\begin{pmatrix}\theta \\\omega \\T\end{pmatrix}}$

על ידי תוכנה (מייפל למשל), נקבל בקלות את הפולינום האופייני:

$\ \Delta (s)=s^{3}+{kK_{3}+R \over L}s^{2}+{kK_{2}-gLml \over Lml^{2}}s+{kK_{1}-gmlkK_{3}-gmlR \over Lml^{2}}$

ואילו הפולינום הדרוש הוא:

$\ \Delta (s)=(s+10)(s+{\tfrac {1}{2}}-j{\tfrac {\sqrt {3}}{2}})(s+{\tfrac {1}{2}}-j{\tfrac {\sqrt {3}}{2}})=s^{3}+11s^{2}+11s+10$

כך שמהשוואת מקדמים מתקבל:

$\ {\begin{cases}K_{1}=ml{L \over k}(11g+10l)\\K_{2}=ml{L \over k}(g+11l)\\K_{3}={-R+11L \over k}\end{cases}}$