מרחב ההסתברות
עריכה
מרחב ההסתברות הוא שלשה:
( Ω , F , P ) {\displaystyle \displaystyle (\Omega ,F,P)} Ω {\displaystyle \Omega } נקראת "מרחב המדגם", F היא אוסף של תת קבוצות שהן "סיגמא-אלגברה" ו-P היא פונקציית ההסתברות.
הגדרה: סיגמא אלגברה היא אוסף F של תתי קבוצות מקבוצה Ω {\displaystyle \Omega } המקיים:
∅ ∈ F , Ω ∈ F {\displaystyle \emptyset \in F,\Omega \in F}
אם A ∈ F {\displaystyle A\in F} אז A c ∈ A {\displaystyle A^{c}\in A}
אם A 1 , A 2 , ⋯ ∈ F {\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots \in F} אז ∪ n = 1 ∞ ∈ F {\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }\in F} טענות:
אם A 1 ∈ F , A 2 ∈ F {\displaystyle A_{1}\in F,A_{2}\in F} אז A 1 ∪ A 2 ∈ F {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\in F}
אם A 1 , A 2 , ⋯ ∈ F {\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots \in F} אזי ∩ n = 1 ∞ ∈ F {\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }\in F}
אם A 1 , A 2 ∈ F {\displaystyle A_{1},A_{2}\in F} אז A 1 ∩ A 2 ∈ F {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\in F} עובדות:
אם A 1 ∩ A 2 = ∅ {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}=\emptyset } אז P ( A 1 ∪ A 2 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) {\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})}
אם A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} אז P ( A ) ≤ P ( B ) {\displaystyle P(A)\leq P(B)} הגדרה: התפלגות אחידה - תהי Ω {\displaystyle \Omega } מרחב מדגם סופי. התפלגות אחידה של Ω {\displaystyle \Omega } היא מרחב הסתברות כאשר F = 2 Ω {\displaystyle F=2^{\Omega }} , ולכל A ∈ F {\displaystyle A\in F} P ( A ) = | A | | Ω | {\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}}
מרחבי הסתברות רציפים
עריכה
דוגמא: בחירה של נקודה אקראית ההמוגרלת באופן אחיד בקטע [0,1].
מרחב המדגם: [0,1]. אוסף המאורעות: הסיגמא אלגברה המינימלית המכילה את כל הקטעים ב [0,1]. מהי ההסתברות P? לכל קטע [a,b] המקיים 0 ≤ a < b ≤ 1 {\displaystyle 0\leq a<b\leq 1} ההסתברות היא: P ( [ a , b ] ) = b − a 1 − 0 = b − a {\displaystyle P([a,b])={\frac {b-a}{1-0}}=b-a}
תהי X 0 ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle X_{0}\in [0,1]} מהי P ( x 0 ) {\displaystyle \displaystyle P(x_{0})} ?
טענה: A ⊂ B ⇒ P ( A ) ≤ P ( B ) {\displaystyle A\subset B\Rightarrow P(A)\leq P(B)}
מכאן קיים x 0 ∈ [ x 0 − ε , x 0 + ε ] {\displaystyle x_{0}\in [x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon ]} . P ( [ x 0 − ε , x 0 + ε ] ) = 2 ε {\displaystyle P([x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon ])=2\varepsilon } . לכן:P ( x 0 ) ≤ 2 ε {\displaystyle P(x_{0})\leq 2\varepsilon } לכל אפסילון ומכאן שווה ל-0.
משפט: קיימת הרחבה יחידה של P ל- F. כלומר, קיימת פפונקציה יחידה P : F → [ 0 , 1 ] {\displaystyle P:F\rightarrow [0,1]} שגם היא מקיימת את הדרישות מהשיעור הקודם וגם מקיימת שלכל קטע [ a , b ] ⊂ [ 0 , 1 ] {\displaystyle [a,b]\subset [0,1]} ,P ( [ a , b ] ) = b − a {\displaystyle \displaystyle P([a,b])=b-a}
דוגמא: נטיל מטבע הוגן. אם יצא עץ, נבחר נקודה בקטע [0,2/3], אם יצא פאלי נבחר נקודה בקטע [2/3,1].
מהי P? יהי [a,b] קטע אזי:
אם b<=2/3 אז: P ( [ a , b ] ) = 1 2 b − a 2 / 3 {\displaystyle P([a,b])={\frac {1}{2}}{\frac {b-a}{2/3}}}
אם a>=2/3 אז: P ( [ a , b ] ) = 1 2 b − a 1 / 3 {\displaystyle P([a,b])={\frac {1}{2}}{\frac {b-a}{1/3}}}
אם a>2/3<b אז: P ( [ a , b ] ) = P ( [ a , 2 / 3 ] ) + P [ 2 / 3 , b ] ) {\displaystyle \displaystyle P([a,b])=P([a,2/3])+P[2/3,b])}
נראה שעבור כל נקודה ההסתברות זהה בשתי הדוגמאות אבל פונקציית ההסתברות שונה. מכאן פונקציית ההסתברות לא נקבעת באופן יחיד עבור הערך בכל נקודה. אם מרחב המדגם סופי- כן נקבעת.