מרחב ההסתברות הוא שלשה:
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle \displaystyle (\Omega ,F,P)}
Ω
{\displaystyle \Omega }
הגדרה: סיגמא אלגברה היא אוסף F של תתי קבוצות מקבוצה
Ω
{\displaystyle \Omega }
∅
∈
F
,
Ω
∈
F
{\displaystyle \emptyset \in F,\Omega \in F}
אם
A
∈
F
{\displaystyle A\in F}
A
c
∈
A
{\displaystyle A^{c}\in A}
אם
A
1
,
A
2
,
⋯
∈
F
{\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots \in F}
∪
n
=
1
∞
∈
F
{\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }\in F}
טענות:
אם
A
1
∈
F
,
A
2
∈
F
{\displaystyle A_{1}\in F,A_{2}\in F}
A
1
∪
A
2
∈
F
{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\in F}
אם
A
1
,
A
2
,
⋯
∈
F
{\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots \in F}
∩
n
=
1
∞
∈
F
{\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }\in F}
אם
A
1
,
A
2
∈
F
{\displaystyle A_{1},A_{2}\in F}
A
1
∩
A
2
∈
F
{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\in F}
עובדות:
אם
A
1
∩
A
2
=
∅
{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}=\emptyset }
P
(
A
1
∪
A
2
)
=
P
(
A
1
)
+
P
(
A
2
)
{\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})}
אם
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
P
(
A
)
≤
P
(
B
)
{\displaystyle P(A)\leq P(B)}
הגדרה: התפלגות אחידה - תהי
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
{\displaystyle \Omega }
F
=
2
Ω
{\displaystyle F=2^{\Omega }}
A
∈
F
{\displaystyle A\in F}
P
(
A
)
=
|
A
|
|
Ω
|
{\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}}
עריכה
דוגמא: בחירה של נקודה אקראית ההמוגרלת באופן אחיד בקטע [0,1].
0
≤
a
<
b
≤
1
{\displaystyle 0\leq a<b\leq 1}
P
(
[
a
,
b
]
)
=
b
−
a
1
−
0
=
b
−
a
{\displaystyle P([a,b])={\frac {b-a}{1-0}}=b-a}
X
0
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle X_{0}\in [0,1]}
P
(
x
0
)
{\displaystyle \displaystyle P(x_{0})}
טענה:
A
⊂
B
⇒
P
(
A
)
≤
P
(
B
)
{\displaystyle A\subset B\Rightarrow P(A)\leq P(B)}
מכאן קיים
x
0
∈
[
x
0
−
ε
,
x
0
+
ε
]
{\displaystyle x_{0}\in [x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon ]}
P
(
[
x
0
−
ε
,
x
0
+
ε
]
)
=
2
ε
{\displaystyle P([x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon ])=2\varepsilon }
P
(
x
0
)
≤
2
ε
{\displaystyle P(x_{0})\leq 2\varepsilon }
משפט: קיימת הרחבה יחידה של P ל- F. כלומר, קיימת פפונקציה יחידה
P
:
F
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle P:F\rightarrow [0,1]}
[
a
,
b
]
⊂
[
0
,
1
]
{\displaystyle [a,b]\subset [0,1]}
P
(
[
a
,
b
]
)
=
b
−
a
{\displaystyle \displaystyle P([a,b])=b-a}
דוגמא: נטיל מטבע הוגן. אם יצא עץ, נבחר נקודה בקטע [0,2/3], אם יצא פאלי נבחר נקודה בקטע [2/3,1].
P
(
[
a
,
b
]
)
=
1
2
b
−
a
2
/
3
{\displaystyle P([a,b])={\frac {1}{2}}{\frac {b-a}{2/3}}}
P
(
[
a
,
b
]
)
=
1
2
b
−
a
1
/
3
{\displaystyle P([a,b])={\frac {1}{2}}{\frac {b-a}{1/3}}}
P
(
[
a
,
b
]
)
=
P
(
[
a
,
2
/
3
]
)
+
P
[
2
/
3
,
b
]
)
{\displaystyle \displaystyle P([a,b])=P([a,2/3])+P[2/3,b])}
![{\displaystyle P([a,b])={\frac {b-a}{1-0}}=b-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985e3a7a2b3967b8fd4e38e745c0d4c2d7472b0f)
![{\displaystyle X_{0}\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe6bda5454fa8536f78cd08f64f91e9d4c7f3b6)
![{\displaystyle x_{0}\in [x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74339f54665aefc80c358acc1ca3b5119718ef8)
![{\displaystyle P([x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon ])=2\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6203fa268fe9f733733c7f53bd994a251e1481f)
![{\displaystyle P:F\rightarrow [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7347ff2c0a177d6654d3e2a73bceca5e7016ec77)
![{\displaystyle [a,b]\subset [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d783ee9f0945f81738468600dc9c132ccc242518)
![{\displaystyle \displaystyle P([a,b])=b-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22adc322f222c620208af35feb649811c347d016)
![{\displaystyle P([a,b])={\frac {1}{2}}{\frac {b-a}{2/3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273742d83711958fd6a8dbed8b7babae223ef81d)
![{\displaystyle P([a,b])={\frac {1}{2}}{\frac {b-a}{1/3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4e26a18b82f278d5691dcc39a1633463d7a1a5)
![{\displaystyle \displaystyle P([a,b])=P([a,2/3])+P[2/3,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7702c319f5ffe1cde46589f126208b9b53295c2)