תורת ההסתברות/פרק 2

אינפי של מרחבי הסתברות

תהי $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$
הגדרה: $\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\cap _{k=1}^{\infty }\cup _{n=k}^{\infty }A_{n}$
$\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\cup _{k=1}^{\infty }\cap _{n=k}^{\infty }A_{n}$

משפט:

1. אם $A_{n}\in \mathbb {N}$ לכל $n\in \mathbb {N}$ אז $\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}\in F$
2. אם $A_{n}\in \mathbb {N}$ לכל $n\in \mathbb {N}$ אז $\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}\in F$
3. $liminf_{n\rightarrow \infty }A_{n}\subset \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}$

הגדרה: תהי $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרת קבוצות.
אם $liminf_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}$ אז נאמר שהסדרה מתכנסת ו-$lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}$

הגדרה חילופית: נניח ש- $A_{n}\subset \Omega$ לכל $n\in \mathbb {N}$. לכל $A\subset \Omega$ נתאים את הפונקציה המציינת ${\mathfrak {x}}_{A}={\begin{cases}1&x\in A\\0&x\notin A\end{cases}}$
נסמן ${\underline {A}}=\liminf A_{n}$ , ${\bar {A}}=\limsup A_{n}$
אזי לכל $\displaystyle x\in \Omega$:
${\mathfrak {x}}_{\bar {A}}=\limsup {\mathfrak {x}}_{A_{n}}(x)$
${\mathfrak {x}}_{\underline {A}}=\liminf {\mathfrak {x}}_{A_{n}}(x)$

$\limsup A_{n}$ היא קבוצת כל ה-xים שמופיעים באינסוף מאיברי הסדרה.
$\liminf A_{n}$ היא קבוצת כל ה-xים שמופיעים בכל איברי הסדרה פרט, אולי למספר סופי.

---

משפט: תהי $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה עולה של מאורעות. כלומר, לכל $n\in \mathbb {N}$:
$A_{n}\subset A_{n+1}$ ו- $A_{n}\in F$.
אז: $P(\cup _{n=1}^{\infty })=\lim _{n\rightarrow \infty }P(A_{n})$.

משפט: תהי $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה יורדת של מאורעות. כלומר, לכל $n\in \mathbb {N}$:
$A_{n+1}\subset A_{n}$ ו- $A_{n}\in F$.
אז: $P(\cap _{n=1}^{\infty })=\lim _{n\rightarrow \infty }P(A_{n})$.

משפט: רציפות פונקציית ההסתברות: תהי $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה מתכנסת של מאורעות ונסמן $A=\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}$. אז: $P(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }P(A_{n})$

טענה: לשני מאורעות A,B במרחב הסתברות $\displaystyle (\Omega ,F,P)$ מתקיים: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)+P(A\cap B)$

פרדוקס יום ההולדת: בשנה יש m=365 ימים. נתונים n אנשים. מה הסיכוי שלאף שניים אין יום הולדת באותו היום? אם n>m הסיכוי או אפס.

מרחב המדגם: $\Omega _{i}=\left\{1,2,...,m\right\}$ , $\Omega =\left\{\Omega _{1}\times \Omega _{2}\times \cdots \times \Omega _{n}\right\}$
$F=2^{\Omega }$
לכל $A\in F$ $P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}$
$|\Omega |=m^{n}$
$A=m*(m-1)*..*(m-n+1)=\Pi _{k=1}^{n}(m-k+1)$
$P(A)=\Pi _{k=1}^{n}{\frac {m-k+1}{m}}$