תורת ההסתברות/פרק 3

הסתברות מותנית, נוסחת בייס ואי תלות

הגדרה: יהי $\displaystyle (\Omega ,F,P)$ מרחב הסתברות, ויהיו A,B מאורעות. נניח ש P(B)>0. ההסתבאות של A בהינתן B מסומנת ע"י $\displaystyle P(A|B)$ ומוגדרת להיות $\displaystyle {\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$
ההסתברות המותנית $\displaystyle P(A|B)$ לא מוגדרת אם P(B) = 0

דוגמא: בכד ישנם n כדורים לבנים ו- k שחורים. מוישה מוציא כדור ולא מחזיר, ואחיו אברם מוציא כדור.

1. מה הסיכוי שאברם הוציא כדור שחור?
2. מה הסיכוי שאברם הוציא כדור שחור בהינתן שמוישה הוציא כדור שחור?

מרחב ההסתברות: $w=\left\{1,\cdots ,n,n+1,\cdots ,n+k\right\}$
$\Omega =\left\{w\in W^{2}:w(1)\neq w(2)\right\}$
$F=2^{\Omega }$ ההתפלגות אחידה.

מאורעות: $A=\left\{Abram\,took\,out\,black\,ball\right\}=\left\{w\in \Omega :w(2)>n\right\}$

$M=\left\{Moses\,took\,out\,black\,ball\right\}=\left\{w\in \Omega :w(1)>n\right\}$

$\displaystyle |\Omega |=(n+k)*(n+k-1)$
$\displaystyle |A|=k*(n+k-1)$
$\displaystyle |M|=k*(n+k-1)$ $\displaystyle A\cap M=\left\{w\in \Omega |w(1)>n,w(2)>n\right\}$
$|A\cap |=k(k-1)$
$P(A)=P(M)={\frac {k(k-1)}{(n+k)(n+k-1)}}={\frac {k}{n+k}}$
$P(A\cap M)={\frac {k(k-1)}{(n+k)(n+k-1)}}$
$P(A|B)={\frac {P(A\cap M)}{P(M)}}={\frac {k(k-1)}{(n+k)(n+k-1)}}{\frac {n+k}{k}}={\frac {k-1}{n+k-1}}$

משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות.

משפט: ההסתברות השלמה: תהי $A_{1},...,A_{n}$ חלוקה של $\Omega$ (כלומר $A_{1},...,A_{n}$ זרים בדוגות ומתקיים $\Omega =\cup _{k=1}^{n}A_{k}$ נניח בנוסף ש- $P(A_{k})>0$ לכל k בין 1 ל- n. אז לכל $b\in F$ מתקיים $P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k})$

נוסחת בייס (Bayes) יהו $A,B\in F$ ונניח ש- $P(A)>0$ ו $P(B)>0$
אז $P(A|B)=P(B|A){\frac {P(A)}{P(B)}}$

אי תלות:

נאמר שמאורע A בלתי תלוי ב B אם הידיעה ש-A התרחש לא משפיעה על הסיכוי של B להתרחש. כלומר נרצה לומר ש A בת"ל ב B אם $P(B)=P(B|A)$

הגדרה (פורמלית) מאורעות A,B בלתי תלויים אם: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

עובדות בסיסיות:

1. אם $P(A)=0$ אזי A ו-B בלתי תלויים.
2. אם A ו-B בלתי תלויים אז $A^{c}$ ו- B בלתי תלויים.
3. אם P(A)=1 אז A ו-B תלויים.
4. אם A בלתי תלוי ב-B ו-A בלתי תלוי ב-C ו $B\cap C=\emptyset$ אז A בלתי תלוי ב-$B\cup C$

אי תלות של מספר מאורעות

הגדרה: יהי $\displaystyle (\Omega ,F,P)$ מרחב הסתברות ויהיו $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\in F$ מאורעות.
אנו אומרים ש- $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ הם בת"ל אם לכל $I\subset \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ מתקיים $P(\cap _{i\in I}A_{i})=\Pi _{i\in I}P(A_{i})$
עבור $I=\emptyset$ , $\cap _{_{i}\in \emptyset }A_{i}=\Omega$

הגדרה שקולה: $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ הם בת"ל אם לכל $I_{1},I_{2}\subset \left\{1,2,...,n\right\}$ כך ש - $\displaystyle I_{1},I_{2}$ זרים, $\cap _{i\in I_{1}}A_{i}$ בת"ל ב $\cap _{_{i}\in I_{2}}A_{i}$

הגדרה: יהי B אוסף של מאורעות. נאמר ש-B הינו אוסף בלתי תלוי אם לכל תת אוסף סופי הוא אוסף בת"ל.

הגדרה: נאמר ש-$A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ הם בלתי תלויים בזוגות אם לכל $1\leq i\neq j\leq n$ מתקיים ש $A_{i},A_{j}$ הם בלתי תלויים.

(אם $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ הם בת"ל הם בת"ל בזוגות)

דוגמא אוסף מאורעות בת"ל בזוגות ולא בת"ל:
$\Omega =\left\{1,2,3,4\right\}$
$F=2^{\Omega }$
P אחידה. ${\begin{cases}A_{1}=\left\{1,4\right\}\\A_{2}=\left\{1,3\right\}\\A_{3}=\left\{1,4\right\}\end{cases}}$