הסתברות מותנית, נוסחת בייס ואי תלות

עריכה

הגדרה: יהי   מרחב הסתברות, ויהיו A,B מאורעות. נניח ש P(B)>0. ההסתבאות של A בהינתן B מסומנת ע"י   ומוגדרת להיות  
ההסתברות המותנית   לא מוגדרת אם P(B) = 0

דוגמא: בכד ישנם n כדורים לבנים ו- k שחורים. מוישה מוציא כדור ולא מחזיר, ואחיו אברם מוציא כדור.

  1. מה הסיכוי שאברם הוציא כדור שחור?
  2. מה הסיכוי שאברם הוציא כדור שחור בהינתן שמוישה הוציא כדור שחור?

מרחב ההסתברות:  
 
  ההתפלגות אחידה.

מאורעות:  

 

 
 
   
 
 
 
 

משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות.

משפט: ההסתברות השלמה: תהי   חלוקה של   (כלומר   זרים בדוגות ומתקיים   נניח בנוסף ש-   לכל k בין 1 ל- n. אז לכל   מתקיים  

נוסחת בייס (Bayes) יהו   ונניח ש-   ו  
אז  

אי תלות:

עריכה

נאמר שמאורע A בלתי תלוי ב B אם הידיעה ש-A התרחש לא משפיעה על הסיכוי של B להתרחש. כלומר נרצה לומר ש A בת"ל ב B אם  

הגדרה (פורמלית) מאורעות A,B בלתי תלויים אם:  

עובדות בסיסיות:

  1. אם   אזי A ו-B בלתי תלויים.
  2. אם A ו-B בלתי תלויים אז   ו- B בלתי תלויים.
  3. אם P(A)=1 אז A ו-B תלויים.
  4. אם A בלתי תלוי ב-B ו-A בלתי תלוי ב-C ו   אז A בלתי תלוי ב- 


אי תלות של מספר מאורעות

עריכה

הגדרה: יהי   מרחב הסתברות ויהיו   מאורעות.
אנו אומרים ש-   הם בת"ל אם לכל   מתקיים  
עבור   ,  

הגדרה שקולה:   הם בת"ל אם לכל   כך ש -   זרים,   בת"ל ב  

הגדרה: יהי B אוסף של מאורעות. נאמר ש-B הינו אוסף בלתי תלוי אם לכל תת אוסף סופי הוא אוסף בת"ל.

הגדרה: נאמר ש-  הם בלתי תלויים בזוגות אם לכל   מתקיים ש   הם בלתי תלויים.

(אם   הם בת"ל הם בת"ל בזוגות)

דוגמא אוסף מאורעות בת"ל בזוגות ולא בת"ל:
 
 
P אחידה.