תורת הקבוצות/עוצמות/תרגילים

אינסופיות של קבוצה

הוכיחו כי קבוצת המספרים השלמים אינסופית.

פתרון

$|\mathbb {Z} |=|\mathbb {N} |$, לכן $\mathbb {Z}$ אינסופית.

סדר בין עוצמות

תת קבוצה

הוכיחו כי $A\subseteq B\Rightarrow |A|\leq |B|$.

פתרון

$I:B\to A:I(x)=x$ חח"ע.

מספר טבעי קטן מאינסוף

הוכיחו כי לכל $\kappa$ אינסופית ולכל $n$ טבעי, $n<\kappa$.

פתרון

תהי $|A|=\kappa$. מכיוון שA אינסופית, היא אינה ריקה, ויהי $N_{1}\in A$. לכל k טבעי, $N_{k}$ הוא איבר כלשהו ב $A\setminus \{N_{i}:1\leq i<k\}$. מתקיים $|\{N_{i}:1\leq i\leq n\}|=n$, ו$\{N_{i}:1\leq i\leq n\}\subseteq A$, לכן $n\leq \kappa$. $n\not =\kappa$, כי $\kappa$ אינסופית, לכן $n<\kappa$.

$\aleph _{0}$ הוא האינסוף הקטן ביותר

הוכיחו כי לכל $\kappa$ אינסופית, $\aleph _{0}\leq \kappa$.

פתרון

לכל קבוצה אינסופית יש תת קבוצה שעוצמתה $\aleph _{0}$, לכן $\aleph _{0}\leq \kappa$.

אריתמטיקה של עוצמות

$\aleph _{0}^{\aleph _{0}}$

הוכיחו כי $\aleph _{0}^{\aleph _{0}}=\aleph$.

פתרון

על פי השאלה הבאה, $\aleph =2^{\aleph _{0}}\leq \aleph _{0}^{\aleph _{0}}\leq \aleph ^{\aleph _{0}}=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}=\aleph \Rightarrow \aleph _{0}^{\aleph _{0}}=\aleph$.

איזוטוניות של חזקה

הוכיחו:

1. $\kappa \leq \lambda \Rightarrow \kappa ^{\mu }\leq \lambda ^{\mu }$.
2. $\kappa \leq \lambda \land \mu \not =0\Rightarrow \mu ^{\kappa }\leq \mu ^{\lambda }$.

פתרון

בשני הסעיפים תהי $h:A\to B$ חח"ע, כאשר $|A|=\kappa ,|B|=\lambda ,|C|=\mu$.

1. נגדיר $\psi :A^{C}\to B^{C}$ כך: $\psi (f)=h\circ f$. מכיוון שh חח"ע, היא מצטמצמת משמאל, לכן הפונקציה חח"ע.
2. יהי $c\in C$. נגדיר $\psi :C^{A}\to C^{B}$ כך: $\psi (f)$ היא הפונקציה $g:B\to C$ המוגדרת $g(x)={\begin{cases}h'^{-1}(x)&&x\in \mathrm {Im} (h)\\c&&{\text{else}}\end{cases}}$, כאשר $h':A\to \mathrm {Im} (h)$ מוגדרת $h'(x)=h(x)$. ברור ש$\psi$ חח"ע.