אלגברה לינארית/בסיסים של גרעין ותמונה

מציאת בסיס לגרעין

עריכה

הגרעין הוא אוסף הפתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית  :

לפי הגדרת הגרעין,  .

  הוא ווקטור ולכן ניתן להציגו גם כך   ההעתקה גם היא ניתנת להצגה באמצעות מטריצה ולכן נקבל לפי הגדרה  .

כלומר הוא אוסף כל הפתרונות שהמשוואה שלהן שווה אפס. לפיכך כאשר נתון לנו מטריצת העתקה  

וברצוננו למצוא בסיס לגרעין:

  1. נדרג את מטריצת העתקה (המקדמים בלבד ללא הנעלמים).
  2. נמצא את אוסף הפתרונות של המטריצה השווים ל- 
  • ווקטורי הפתרון הם הבסיס, ובתנאי ששונים מאפס, הפורשים את גרעין T.

איך מוצאים בסיס לתמונה?

עריכה

על פי הגדרה התמונה של   תהיה   כלומר  

במילים אחרות התמונה היא אוסף קומבינציות לינאריות של עמודות A שהוא תת מרחב הנפרש על ידי העמודות.

לפיכך כאשר נרצה למצוא בסיס לתמונה של העתקה   נבצע את הפעולות הבאות:

  1. נדרג את המטריצה המשוחלפת ל-A (המטריצה של המקדמים בלבד).
  2. שחלוף הווקטורים המתקבלים לאחר הדרוג הוא בסיס התמונה.

דוגמא

עריכה

תהי   נמצא בסיס לגרעין ולתמונה של  

נדרג את   ונקבל  . נמצא את אוסף הפתרונות של המערכת (מפני שהגרעין מקיים  ) הוא:   ולכן  הוא בסיס לגרעין.

כמו כן, העמודה היחידה עם איבר מוביל היא הראשונה, ולכן   הוא בסיס לתמונה.