נשם לב: הבסיסים של מרחב המטריצות הן מטריצות ואילו ב-Hom הן העתקות! יובהר טוב יותר בהמשך.
נוכל לקחת בסיס במרחב המטריצות ולהסתכל על ההעתקות הלינאריות שמתאימות לאיברים אלו. קבוצת העתקות אלו תהווה בסיס של .
נשאל: איזה העתקה מתאימה למטריצה?
נניח יש לנו את הבסיס: מטריצה .
לדוגמא:
איזו העתקה מתאימה למטריצה זו?
תשובה: יוטא של העתקה לינארית זו שווה למטריצה זו, כלומר על פי הגדרת יוטא, המטריצה של העתקה לינארית ביחס לבסיסים B ו-C תהיה מטריצה זו.
אם אנו יודעים כי .
מה זה אומר?
זה אומר שמטריצה של העתקה לינארית, מוגדרת על פי העמודות (בסיס ), כלומר כאשר מפעילים את העתקה על ווקטורי הבסיס אז המטריצה מגדירה לנו מה היא הפעולה בפועל שיש לבצע על הווקטור:
כלומר אנו מקבלים העתקה לינארית מ- ל- שמתאימה לתמונה הפוכה ביחס ליוטא, היא בדיוק העתקה לינארית שמעבירה:
וכנ"ל לגבי כל העתקה אחרת.ברגע שהגדרנו מה עושה העתקה לוקטורי הבסיס, אנו יודעים כי קיימת רק העתקה אחת שמקיימת זאת.
באופן כללי ( היא חח"ע ועל לכן התמונה ההפוכה הינה איבר אחד בדיוק)