אלגברה לינארית/המרחב של העתקות לינאריות

הגדרה 1: Hom יהי $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$. $Hom$ הוא אוסף ההעתקות הלינאריות $Hom\left(v,w\right)=\left\{T:V\to W\mid T-is-Linearmap\right\}$ במילים אחרות, $T$ היא העתקה ליניארית ממרחב ווקטורי $V$ למרחב הווקטורי $W$ אזי $\hom$ הוא כל ההעתקות הליניאריות ממרחב ווקטורי $V$ למרחב הווקטורי $W$. הוכחה: הגדרה 2: הגדרה העתקות במרחב HOM יהי $S,T:V\to W$ ה"ל כך ש- $S,T\in hom\left(V,W\right)$, וכן גם, $c\in \mathbb {F}$. נגדיר: $\left(S+T\right):V\to W:\left(S+T\right)\left(v\right)=S\left(v\right)+T\left(v\right)$ $\left(cT\right):V\to W$ ע"י $\left(cT\right)\left(v\right)=c\cdot T\left(v\right)$ נוכיח כי $S+T$ ו$c\cdot T$ הן ה"ל. אדטיביות - יהיו $v_{1},v_{2}\in V$ אזי $\left(S+T\right)\left(v_{1}+v_{2}\right)=S\left(v_{1}+v_{2}\right)+T\left(v_{1}+v_{2}\right)=S\left(v_{1}\right)+S\left(v_{2}\right)+T\left(v_{1}\right)+T\left(v_{2}\right)=S\left(v_{1}\right)+T\left(v_{1}\right)+S\left(v_{2}\right)+T\left(v_{2}\right)=\left(S+T\right)\left(v_{1}\right)+\left(S+T\right)\left(v_{2}\right)$ יהי $v\in V$ ו$c\in \mathbb {F}$ אזי $\left(S+T\right)\left(cv\right)=S\left(cv\right)+T\left(cv\right)=c\cdot S\left(v\right)+c\cdot T\left(v\right)=c\cdot \left(S\left(v\right)+T\left(v\right)\right)=c\cdot \left(\left(S+T\right)\left(v\right)\right)$ לכן $S+T$ הינה ה"ל. בדומה מראים ש cT הינה ה"ל. במילים אחרות, כל ה"צירופים הלינארים" של העתקות, כפי שניתן לראות לעיל פורשות תת מרחב מעל השדה. סיכום: $\hom \left(V,W\right)$ עם פעולות חיבור וכפל בסקלר שהגדרנו מקיים את כל האקסיומות של המרחב הוקטורי מעל $\mathbb {F}$. לכן מעתה נתייחס ל$\hom \left(V,W\right)$ כאל מ"ו