הגדרה 1: Hom
יהי מ"ו מעל . הוא אוסף ההעתקות הלינאריות
במילים אחרות, היא העתקה ליניארית ממרחב ווקטורי למרחב הווקטורי אזי הוא כל ההעתקות הליניאריות ממרחב ווקטורי למרחב הווקטורי .
הוכחה:
נוכיח כי ו הן ה"ל.
- אדטיביות - יהיו
אזי ![{\displaystyle \left(S+T\right)\left(v_{1}+v_{2}\right)=S\left(v_{1}+v_{2}\right)+T\left(v_{1}+v_{2}\right)=S\left(v_{1}\right)+S\left(v_{2}\right)+T\left(v_{1}\right)+T\left(v_{2}\right)=S\left(v_{1}\right)+T\left(v_{1}\right)+S\left(v_{2}\right)+T\left(v_{2}\right)=\left(S+T\right)\left(v_{1}\right)+\left(S+T\right)\left(v_{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9bae0af9620a390596cacfe101c99587b9f117)
- יהי
ו אזי ![{\displaystyle \left(S+T\right)\left(cv\right)=S\left(cv\right)+T\left(cv\right)=c\cdot S\left(v\right)+c\cdot T\left(v\right)=c\cdot \left(S\left(v\right)+T\left(v\right)\right)=c\cdot \left(\left(S+T\right)\left(v\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d9f97fc6a263a5467c02b604a255c6f2fa28ab)
לכן הינה ה"ל. בדומה מראים ש cT הינה ה"ל.
במילים אחרות, כל ה"צירופים הלינארים" של העתקות, כפי שניתן לראות לעיל פורשות תת מרחב מעל השדה.
סיכום: עם פעולות חיבור וכפל בסקלר שהגדרנו מקיים את כל האקסיומות של המרחב הוקטורי מעל .
לכן מעתה נתייחס ל כאל מ"ו
|