אלגברה לינארית/השלמת קבוצה בת"ל כך שתפרוש את המרחב

השלמה לבסיס

השלמת בסיס פירושו שאם קיימים לנו מספר ווקטורים הפורשים חלקית את המרחב, נרצה למצוא את יתר הווקטורים החסרים כך שיחדיו כל קבוצת הווקטורים תפרוש את כל המרחב ותהווה בסיס. לדוג' $e_{1}$ פורש חלקית את מרחב $\mathbb {R}$. יחד עם $e_{2}$ הם יהוו בסיס. בדוגמה הנוכחית קל היה למצוא את הווקטור החסר לפרישת כל המרחב. כיצד מוצאים את הווקטורים החסרים להשלמה לבסיס במקרים מורכבים?

תרגיל : יהי $V=\mathbb {F} ^{m}$, ו$v_{1},..,v_{n}\in \mathbb {F} ^{m}$, כך ש-$\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ בת"ל. למצוא $v_{n+1},...,v_{m}$ כך ש $\left(v_{1},..,v_{m}\right)$ יהיה בסיס של $\mathbb {F} ^{m}$. ($n\leq m$ - כי אחרת הוא לא היה בת"ל)

טענה 1: השלמה לבסיס יהי $V$ מ"ו ממימד $m$, ותהיינה $\left\{v_{1},..,v_{n}\right\}\in V$ ו-$\left\{u_{1},..,u_{n}\right\}\in V$ קבוצות כך ששתיהן בת"ל ומתקיים $span\left(u_{1},..,u_{n}\right)=span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$. אם $u_{n+1},...u_{m}\in V$ וקטורים כך ש $\left(u_{1},.,u_{n},u_{n+1},.,u_{m}\right)$ בסיס של $V$, אז גם $B=\left(v_{1},.,v_{n},u_{n+1},.,u_{m}\right)$ בסיס של $V$. הוכחה: לכל $1\leq i\leq n$ מתקיים $u_{i}\in spanB$ כי $u_{i}\in span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$. לכל $n+1\leq i\leq m$ מתקיים $u_{i}\in spanB$. לכן $spanB=V$ כלומר $B$ פורשת את $V$. מאחר ש-$\dim V=m$ ו $B$ מכילה $m$ איברים ופורשת את $V$, אנו מסיקים ש$B$ בת"ל ולכן בסיס. טענה 2: תהי $A\in M_{m\times n}$ מטריצה כך שהעמודה ה$i$ של $A$ היא $v_{i}$. נדרג את $A$ ע"י פעולות עמודה אלמנטריות ונקבל מטריצה $R$ מדורגת מצומצמת עמודות. נסמן ב$l$ את מספר האיברים המובילים ב$R$, העמודה ה-$i$ של $R$ ב-$w_{i}$. אז:1) $span\left(v_{1},..,v_{n}\right)=span\left(w_{1},..,w_{n}\right)=span\left(w_{1},..,w_{l}\right)$. 2. $v_{1},..,v_{n}$ בת"ל וגם $\left(w_{1},..,w_{l}\right)$ בת"ל, לפיכך $n=l$ נסמן ב-$j_{1},..,j_{m-n}$ מספר השורות של $R$ בהן אין איבר מוביל. אז $\left(w_{1},..,w_{n},e_{j_{1}},...,e_{j_{m-n}}\right)$ בסיס של $\mathbb {F} ^{m}$. ולפי טענה 1, גם $\left(v_{1},..,v_{n},e_{j_{1}},..,e_{j_{m-n}}\right)$ מהווה בסיס של $\mathbb {F} ^{m}$.

מסקנה: כל קבוצה בת"ל של איברים מ$\mathbb {F} ^{m}$ ניתן להשלים לבסיס ע"י וקטורים מהקבוצה $\left\{e_{1},..,e_{m}\right\}$ .

הוכחה דרך 2

משפט: כל קבוצה פורשת מכילה בסיס, וכל קבוצה בת"ל מוכלת בבסיס. (בשני המקרים, הכוונה שקיים בסיס כזה)

הוכחה

חלק א': יהי $n=\dim(V)$ . ניקח אבר $u_{1}\in A$ , ונמשיך עבור כל $1<m\leq n$ , כך:

• $B_{m-1}=\{u_{1},\ldots ,u_{m-1}\}$ בת"ל (נבדוק זאת בסוף כל שלב).
• מכיון ש- $B_{m-1}$ בת"ל, אך מספר אבריה אינו $n$ , היא אינה פורשת (אחרת, היתה בסיס)
• לכן, קיים $v\in V$ שאינו צ"ל של $B_{m-1}$ , אבל כן צ"ל של $A$ (כי $A$ פורשת)
• לכן, קיים צ"ל $v=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}z_{i}$ של אברי $A$ , שאינו ניתן להצגה כצ"ל של $B_{m-1}$
• אם לכל $w\in A$ קיימים סקלרים כך ש- $\sum _{i=1}^{m-1}\beta _{i,w}u_{i}=w$ , אז נקבל $v=\sum _{i=1}^{m-1}(\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}\beta _{i,z_{j}})u_{i}$ , בסתירה.
• לכן, קיים $w\in A$ שאינו צ"ל של $B_{m-1}$ . נסמנו $u_{m}$
• מכיון שבקבוצה ת"ל, קיים אבר הניתן להצגה כצ"ל של קודמיו, $B_{m}=\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}$ בת"ל.

נמשיך כך עד $B_{n}$ . $B_{n}$ בת"ל, ו- $\#B_{n}=n$ , ולכן, $B_{n}\subseteq A$ בסיס.

חלק ב': נסמן $m=\#A,n=\dim(V)$. אם n=m, סיימנו. אחרת, $\ m<n$. נסמן $A=\{u_{1},\dots ,u_{n}\}$ עבור כל $m<k\leq n$ , נבצע את התהליך הבא:

• $B_{i-1}=\{u_{1},\dots ,u_{i-1}\}$ אינה פורשת (נבדוק בסוף כל שלב), כלומר, קיים $u_{i}\in V$ שאינו צ"ל של $B_{i-1}$
• מכיון שבקבוצה ת"ל קיים אבר שהוא צ"ל של קודמיו, $B_{i}=\{u_{1},\dots ,u_{i}\}$ בת"ל
• אם $i<n$ , נקבל $\#B_{i}=i<n$ , ולכן $B_{i}$ אינה פורשת.

קיבלנו בסוף, $B_{i}\supseteq A$ בת"ל, ו- $\#B_{i}=n$ , ולכן $B_{i}$ בסיס.

הצגה לפי בסיס

יחידות ההצגה

משפט: תהי $A\subseteq V$. $A$ בסיס ל- $V$ אמ"מ לכל $u\in V$ יש הצגה יחידה כצ"ל של $A$ .

הוכחה

אם שמאל אז ימין: כיון שלכל $u\in V$ יש הצגה כצ"ל של $A$ , $A$ פורשת את $V$ . נוכיח שהיא בת"ל: נניח בשלילה ש- $A$ ת"ל. אזי קיימים סקלרים שלפחות אחד מהם שונה מאפס, כך ש-($\sum _{i=0}^{m}\alpha _{i}ai$ ($a_{i}\in A$ . אבל אז, נקבל: $\sum _{i=1}^{m}0a_{i}={\vec {0}}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}a_{i}$ , בסתירה לכך שההצגה יחידה. לכן, $A$ בסיס.

אם ימין אז שמאל: $A$ בסיס, ולכן פורשת. לכן, לכל $u\in V$ יש הצגה כצ"ל של $A$ . נניח בשלילה שההצגה לא בהכרח יחידה, כלומר, קיימים סקלרים המקיימים: $\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}a_{i}=\sum _{i=1}^{m}\beta _{i}a_{i},\exists j:\alpha _{j}\neq \beta _{j}$

נקבל: $\sum _{i=1}^{m}(\beta _{i}-\alpha _{i})a_{i}={\vec {0}},(\beta _{j}-\alpha _{j})\neq {\vec {0}}$, בסתירה לכך ש- $A$ בת"ל. לכן, ההצגה יחידה.

ההצגה

יהי $B=\{b_{1},\dots ,b_{n}\}$ בסיס סדור ל- $V$ , ויהי $u\in V$ . תהי $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}b_{i}$ ההצגה היחידה של $u$ כצ"ל של $B$ .

ההצגה של $u$ לפי $B$ תוגדר להיות: $\left[u\right]_{B}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}$ (כלומר, וקטור עמודה)

פעולות

נגדיר חיבור וקטורי עמודה, וכפל בסקלר, בדרך הטריוויאלית - אבר אבר.

יהי $B=\{b_{1},\dots ,b_{n}\}$ בסיס סדור ל- $V$ , ויהיו $u,v\in V,\alpha \in \mathbb {F}$ . אזי $[u+v]_{B}=[u]_{B}+[v]_{B},[\alpha u]_{B}=\alpha [u]_{B}$ .

הוכחה: נציג את $u,v$ כצ"ל של $B$ : $u=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i},v=\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}b_{i}$ , נקבל:

• $[u+v]_{b}=\left[\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i}+\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}b_{i}\right]_{B}=\left[\sum _{i=1}^{n}(\beta _{i}+\gamma _{i})b_{i}\right]_{B}={\begin{pmatrix}\beta _{1}+\gamma _{1}\\\vdots \\\beta _{n}+\gamma _{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\gamma _{1}\\\vdots \\\gamma _{n}\end{pmatrix}}=\left[\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i}\right]_{B}+\left[\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}b_{i}\right]_{B}=[u]_{B}+[v]_{B}$
• $[\alpha u]_{B}=\left[\alpha \sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i}\right]_{B}=\left[\sum _{i=1}^{n}\alpha \beta _{i}b_{i}\right]_{B}={\begin{pmatrix}\alpha \beta _{1}\\\vdots \\\alpha \beta _{n}\end{pmatrix}}=\alpha {\begin{pmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{pmatrix}}=\alpha \left[\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i}\right]_{B}=\alpha [u]_{B}$