טענה 4: נתונות . נסמן את העמודה ה - של ב- , ונסמן את העמודה ה- של ו- . אם מתקבלת מ- ע"י סדרת פעולות עמודה אלמנטריות, אז ![{\displaystyle span\left(v_{1},..,v_{n}\right)=span\left(w_{1},..,w_{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157db1a535d85aa7c70173c12313510b259d56f6)
נניח בלי הגבלת הכלליות ש- מתקבלת מ ע"י פעולת עמודה אלמנטרית אחת.
נסמן . אז .
מכיוון ראשון :
יהי , קיימים כך ש .
מההגדרה מתקיים:
וכן הלאה לכל .
נציב את במשוואה של ונקבל צירוף ליניארי ולכן .
מכיוון שני,
אם מתקבלת מ ע"י פעולת עמודה אלמנטרית, אז גם מתקבלת מ בצורה זו. (ההכלה דו כיוונית)
ולכן
|