הגדרה 1: הרכבת העתקות
יהיו U , V , W {\displaystyle U,V,W} מ"ו מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } , ו B = ( u 1 , . . , u n ) , C = ( v 1 , . . , v n ) , D = ( w 1 , . . , w m ) {\displaystyle B=\left(u_{1},..,u_{n}\right),C=\left(v_{1},..,v_{n}\right),D=\left(w_{1},..,w_{m}\right)} של U , V , W {\displaystyle U,V,W} בהתאמה. S : U → V {\displaystyle S:U\to V} ו T : V → W {\displaystyle T:V\to W} ה"ל.
אז [ S ∘ T ] D B = [ S ] D C ∗ [ T ] C B {\displaystyle [S\circ T]_{D}^{B}=[S]_{D}^{C}*[T]_{C}^{B}}
במילים אחרות, הכנסו אל [ T ] C B {\displaystyle [T]_{C}^{B}} ווקטור B {\displaystyle B} וקבלנו ווקטור C {\displaystyle C} . הכנסו אל [ S ] D C {\displaystyle [S]_{D}^{C}} את אותו ווקטור C {\displaystyle C} וקבלנו ווקטור בבסיס D {\displaystyle D} .
הוכחה: העמודה ה j {\displaystyle j} של המטריצה [ T ∘ S ] D B {\displaystyle \left[T\circ S\right]_{D}^{B}} היא [ ( T ∘ S ) u j ] D = [ T ( S ( u j ) ) ] D = [ T ] D C ⋅ [ S ( u j ) ] C = [ T ] D C ⋅ ( [ S ] C B ⋅ [ u j ] B ) = ( [ T ] D C ⋅ [ S ] C B ) ⋅ e j {\displaystyle \left[\left(T\circ S\right)u_{j}\right]_{D}=\left[T\left(S\left(u_{j}\right)\right)\right]_{D}=\left[T\right]_{D}^{C}\cdot \left[S\left(u_{j}\right)\right]_{C}=\left[T\right]_{D}^{C}\cdot \left(\left[S\right]_{C}^{B}\cdot \left[u_{j}\right]_{B}\right)=\left(\left[T\right]_{D}^{C}\cdot \left[S\right]_{C}^{B}\right)\cdot e_{j}}
משפט 1: [ I d ] D B = [ I d ] D C ⋅ [ I d ] D B {\displaystyle \left[Id\right]_{D}^{B}=\left[Id\right]_{D}^{C}\cdot \left[Id\right]_{D}^{B}}
משפט 1:
יהי V מ"ו מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } ו B , C , D {\displaystyle B,C,D} בסיסים של V {\displaystyle V} אז \ [ I d ] D B = [ I d ] D C ⋅ [ I d ] D B {\displaystyle \left[Id\right]_{D}^{B}=\left[Id\right]_{D}^{C}\cdot \left[Id\right]_{D}^{B}} . אז
הוכחה: [ T ] C C [ I d ] C B = [ T ∘ I d ] C B = [ T ] C B = [ I d ∘ T ] C B = [ I d ] C B [ T ] B B {\displaystyle \left[T\right]_{C}^{C}\left[Id\right]_{C}^{B}=\left[T\circ Id\right]_{C}^{B}=\left[T\right]_{C}^{B}=\left[Id\circ T\right]_{C}^{B}=\left[Id\right]_{C}^{B}\left[T\right]_{B}^{B}}
נכפול את שני הצדדים של הטענה הראשונה במטריצה ההפוכה ל [ I d ] C B {\displaystyle \left[Id\right]_{C}^{B}} ונקבל ( [ I d ] B C ) − 1 [ T ] B B [ I d ] B C = [ I d ] C B [ T ] B B [ I d ] B C = [ T ] C C [ I d ] C B [ I d ] B C = [ T ] C C ⋅ I n = [ T ] C C {\displaystyle \left(\left[Id\right]_{B}^{C}\right)^{-1}\left[T\right]_{B}^{B}\left[Id\right]_{B}^{C}=\left[Id\right]_{C}^{B}\left[T\right]_{B}^{B}\left[Id\right]_{B}^{C}=\left[T\right]_{C}^{C}\left[Id\right]_{C}^{B}\left[Id\right]_{B}^{C}=\left[T\right]_{C}^{C}\cdot I_{n}=\left[T\right]_{C}^{C}}
נתונה הרכבה של העתקות: [ T ∘ T ] c B = [ 2 2 6 8 ] {\displaystyle \left[T\circ T\right]_{c}^{B}=\left[{\begin{matrix}2&2\\6&8\end{matrix}}\right]}
וכן גם [ T ] B B = [ 4 − 2 2 − 2 ] {\displaystyle \left[T\right]_{B}^{B}=\left[{\begin{matrix}4&-2\\2&-2\end{matrix}}\right]}
מצא את [ T ] c c {\displaystyle [T]_{c}^{c}} וגם [ T ] c b {\displaystyle [T]_{c}^{b}}
נמצא את [ T ] c b {\displaystyle [T]_{c}^{b}} :
על פי הנוסחה נקבל: [ T ∘ T ] c B = [ T ] c B ∗ [ T ] B B {\displaystyle [T\circ T]_{c}^{B}=[T]_{c}^{B}*[T]_{B}^{B}}
נציב את הנתונים:
[ 2 2 6 8 ] = [ a c b d ] [ 4 − 2 2 − 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&2\\6&8\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a&c\\b&d\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}4&-2\\2&-2\end{matrix}}\right]}
נפתור את מערכת המשוואות ונקבל :
4 a + 2 c = 2 − 2 a − 2 c = 2 4 b + 2 d = 6 − 2 b − 2 d = 8 {\displaystyle {\begin{aligned}4a+2c=2\\-2a-2c=2\\4b+2d=6\\-2b-2d=8\end{aligned}}}
נקבל [ T ] c b = [ 3 − 5 12 − 20 ] {\displaystyle [T]_{c}^{b}=\left[{\begin{matrix}3&-5\\12&-20\end{matrix}}\right]}
נמצא את [ T ] c c {\displaystyle [T]_{c}^{c}} :
נוסיף מטריצות הפוכות זו לזו: [ T ∘ T ] c B = [ T ] b c ∗ [ T ] c c ∗ [ T ] c b ∗ [ T ] B B = [ T ] c c ∗ [ T ] C B {\displaystyle [T\circ T]_{c}^{B}=[T]_{b}^{c}*[T]_{c}^{c}*[T]_{c}^{b}*[T]_{B}^{B}=[T]_{c}^{c}*[T]_{C}^{B}}
באופן דומה לפתרון לעיל נציב את כל הנתונים ונמצא את [ T ] c c {\displaystyle [T]_{c}^{c}} :
[ 2 2 6 8 ] [ a c b d ] [ T ] c b = [ 3 − 5 12 − 20 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&2\\6&8\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a&c\\b&d\end{matrix}}\right][T]_{c}^{b}=\left[{\begin{matrix}3&-5\\12&-20\end{matrix}}\right]}
מ"ו מעל 
, ו 
של בהתאמה. 
ו
ה"ל.
![{\displaystyle [S\circ T]_{D}^{B}=[S]_{D}^{C}*[T]_{C}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95d331eb20e4e3da88132be268fdad3fe87abf0)
![{\displaystyle [T]_{C}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7774d598537ac098197187f9a800f8ee03ac7c1)
ווקטור 
וקבלנו ווקטור 
. הכנסו אל ![{\displaystyle [S]_{D}^{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248705e81955cbd54e5235e5f707a0adb7ada12d)
את אותו ווקטור וקבלנו ווקטור בבסיס 
.
של המטריצה ![{\displaystyle \left[T\circ S\right]_{D}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e5ccdfc5bb3ebbe2516a19fcbdf95f5136e86c)
היא ![{\displaystyle \left[\left(T\circ S\right)u_{j}\right]_{D}=\left[T\left(S\left(u_{j}\right)\right)\right]_{D}=\left[T\right]_{D}^{C}\cdot \left[S\left(u_{j}\right)\right]_{C}=\left[T\right]_{D}^{C}\cdot \left(\left[S\right]_{C}^{B}\cdot \left[u_{j}\right]_{B}\right)=\left(\left[T\right]_{D}^{C}\cdot \left[S\right]_{C}^{B}\right)\cdot e_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1394750f0f8ee2922c1d4daed25052e97d0e21cc)
![{\displaystyle \left[Id\right]_{D}^{B}=\left[Id\right]_{D}^{C}\cdot \left[Id\right]_{D}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb25e5050235cbd322a703132ce34314b571108)
![{\displaystyle \left[Id\right]_{C}^{B}\left[T\right]_{B}^{B}=\left[T\right]_{C}^{C}\left[Id\right]_{C}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536a8fd6c0d4c40918072d9f68c4c0bbe6293b01)
![{\displaystyle \left(\left[Id\right]_{B}^{C}\right)^{-1}\left[T\right]_{B}^{B}\cdot \left[Id\right]_{B}^{C}=\left[T\right]_{C}^{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bff256a21340df30435ed770da0c5171ed82209)
![{\displaystyle \left[T\right]_{C}^{C}\left[Id\right]_{C}^{B}=\left[T\circ Id\right]_{C}^{B}=\left[T\right]_{C}^{B}=\left[Id\circ T\right]_{C}^{B}=\left[Id\right]_{C}^{B}\left[T\right]_{B}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed2a75c4cbbe4e1c328445b5124c7624aa25a42)
![{\displaystyle \left[Id\right]_{C}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af18e42ce2bf5725e0cc268d37cb1f0492f32af2)
![{\displaystyle \left(\left[Id\right]_{B}^{C}\right)^{-1}\left[T\right]_{B}^{B}\left[Id\right]_{B}^{C}=\left[Id\right]_{C}^{B}\left[T\right]_{B}^{B}\left[Id\right]_{B}^{C}=\left[T\right]_{C}^{C}\left[Id\right]_{C}^{B}\left[Id\right]_{B}^{C}=\left[T\right]_{C}^{C}\cdot I_{n}=\left[T\right]_{C}^{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5799af767e1ceac8a4a4224a73d1b606999d4b7b)
![{\displaystyle \left[T\circ T\right]_{c}^{B}=\left[{\begin{matrix}2&2\\6&8\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b39b3627050b1636cded7d7ffa41147eda347b0)
![{\displaystyle \left[T\right]_{B}^{B}=\left[{\begin{matrix}4&-2\\2&-2\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f4410bc7cd861d6c4695bdd3bb0c026e89920b)
![{\displaystyle [T]_{c}^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/580835580438fd7a9466e16d9ab5605add6e749a)
![{\displaystyle [T]_{c}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b896f0cafb8d91ac9509886c6eb3d9dd1c72f7bc)
![{\displaystyle [T\circ T]_{c}^{B}=[T]_{c}^{B}*[T]_{B}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a317d12fed875442613b714bdda7049609f540fa)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&2\\6&8\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a&c\\b&d\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}4&-2\\2&-2\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c3f56b92d5052b2bf3a99fb5e4434973dde388)
![{\displaystyle [T]_{c}^{b}=\left[{\begin{matrix}3&-5\\12&-20\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1a3cef0e8ffe41b67338934dee67eb5de7d2d2)
![{\displaystyle [T\circ T]_{c}^{B}=[T]_{b}^{c}*[T]_{c}^{c}*[T]_{c}^{b}*[T]_{B}^{B}=[T]_{c}^{c}*[T]_{C}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a1ecf1eb9ac91d1617a4e7ff12c8be950cc582)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&2\\6&8\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a&c\\b&d\end{matrix}}\right][T]_{c}^{b}=\left[{\begin{matrix}3&-5\\12&-20\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fb144745b0c76b7c0e3c1e6d6617748ebc04a8)