אלגברה לינארית/מטריצה מייצגת העתקה/מציאת ווקטור בבסיס

יהיה $B,D$ בסיסים של $R$, ותהיה העתקה לינארית, $T:R^{2}\to R^{2}$ כך ש- $[T]_{D}^{B}={\begin{bmatrix}6&-9\\-9&12\end{bmatrix}}$. כמו גם נתון $[T]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}2&4\\3&-5\end{bmatrix}}$ כאשר $C={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}$ בסיס של $R^{2}$. מצא את $D$.

בשלב זה אנו מכניסים וקטור מבסיס B אך יכולים לבצע רק שלב אחד. מכיוון שני אנחנו מציבים את $[t(v)]_{c}$ בסיס ומצבים צעד אחד

פתרון: ידוע כי $[T(v)]_{C}=[T]_{c}^{b}*{\color {red}[v]_{b}}$

נמצא את ווקטורי $[v]_{b}$ לפי בסיס $C={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}$:

נתון כי $[T]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}2&4\\3&-5\end{bmatrix}}$ כלומר

$[T(v_{1})]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}$ ו-$[T(v_{2})]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}4\\-5\end{bmatrix}}$

נמצא את $t(v_{1})$:

$T(v_{1})=2*{\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}+3*{\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3\\15\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7\\21\end{bmatrix}}$

$T(v_{2})=4*{\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}-5*{\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\12\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}-5\\-25\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\13\end{bmatrix}}$

נמצא את ווקטורי $[v]_{b}$ לפי בסיס $D$:

נתון: $[T]_{D}^{B}={\begin{bmatrix}6&-9\\-9&12\end{bmatrix}}$

$[T(v_{1})]={\begin{bmatrix}6\\-9\end{bmatrix}}$

$[T(v_{1})]={\begin{bmatrix}-9\\12\end{bmatrix}}$

נבטא את $D={w_{1},w_{2}}$ על כן מתקיים ש-$t(v)$:

$t(v_{1})=6w_{1}-9w_{2}={\begin{bmatrix}7\\21\end{bmatrix}}$

$t(v_{2})=9w_{1}+12w_{2}={\begin{bmatrix}3\\13\end{bmatrix}}$

נפתור את מערכת המשוואות (ניתן לפרק את $w_{1}={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}$