אלגברה לינארית/מטריצות מעבר בסיסים דומות


בלון!

בפרק זה נעסוק בכך שמטריצות מעברי הבסיסים ו דומות זו לזו.

על כן מומלץ לרענן תחילה את הנושא: מטריצות דומות.


הגדרה 1 שם=העתקה הפיכה:

תהי אז הפיכה () כלומר מתקיימת העתקה לינארית ומתקיים שהמטריצה ההופכית של העתקה שווה למטריצה המצייגת העתקה הפכית

מטריצות הפוכות זו לזו מקיימות


טענה 1 שם=מטריצה Id של מעבר בסיסים דומות:

מטריצות מייצגות של אותה העתקה בבסיסים שונים (מטריצות דומות): זוג מטריצות ריבועיות, תקראנה דומות אם קיימת מטריצה הפיכה, , המקיימת

יהי B בסיס למרחב ווקטורי ותהי P מטריצה הפיכה אזי קיים בסיס C כך שמטריצת המעבר מ-B ל-C היא P.

הפיכה ל-

את טענה זו נוכיח על ידי הוכחה כי ו דומות

ו דומות

עריכה

למה 1 "יהי   מ"ו מעל   ו  בסיס של  . ו   הפיכה. אז קיים בסיס   של   כך שקיימת מטריצה מעבר  "

נתון  .

נגדיר צ"ל של וקטור בבסיס  .

צ"ל כי   בסיס של  .

נסמן את המטרציה ההפיכה   ונסמן  

יהי  , כך ש-  נראה ש   לכן   לכל  .

לפיכך  . מאחר ו  אז   בת"ל. כלומר   בסיס של   וגם  .


טענה 1: מטריצות מעברי הבסיסים   ו  דומות זו לזו

יהי  מ"ו מעל  ,   בסיס של  .   ה"ל ונתונות   מטריצות דומות זו לזו כך ש .

אז קיים בסיס   של   כך ש 


הוכחה: מאחר ש   דומות קיימת מטריצה   הפיכה כך ש:  

לפי הלמה קיים בסיס   של   כך ש   אז