בלון!
על כן מומלץ לרענן תחילה את הנושא: מטריצות דומות.
הגדרה 1 שם=העתקה הפיכה:
תהי T : V → V {\displaystyle T:V\to V} אז T {\displaystyle T} הפיכה ( [ T − 1 ] B {\displaystyle [T^{-1}]_{B}} ) כלומר מתקיימת העתקה לינארית V → T V → T − 1 V {\displaystyle V{\xrightarrow {T}}V{\xrightarrow {T^{-1}}}V} ומתקיים שהמטריצה ההופכית של העתקה שווה למטריצה המצייגת העתקה הפכית [ T ] B − 1 = [ T − 1 ] B {\displaystyle [T]_{B}^{-1}=[T^{-1}]_{B}}
מטריצות הפוכות זו לזו מקיימות [ T ] B − 1 ∗ [ T ] B = I n {\displaystyle [T]_{B}^{-1}*[T]_{B}=I_{n}}
טענה 1 שם=מטריצה Id של מעבר בסיסים דומות:
מטריצות מייצגות של אותה העתקה בבסיסים שונים (מטריצות דומות): זוג מטריצות ריבועיות, C , D {\displaystyle C,D} תקראנה דומות אם קיימת מטריצה הפיכה, P {\displaystyle P} , המקיימת C = P − 1 ∗ D ∗ P {\displaystyle C=P^{-1}*D*P}
יהי B בסיס למרחב ווקטורי ותהי P מטריצה הפיכה אזי קיים בסיס C כך שמטריצת המעבר מ-B ל-C היא P.
[ I d v ] b c {\displaystyle [Idv]_{b}^{c}} הפיכה ל- [ I d v ] c b {\displaystyle [Idv]_{c}^{b}}
את טענה זו נוכיח על ידי הוכחה כי [ T ] B B {\displaystyle \left[T\right]_{B}^{B}} ו [ T ] C C {\displaystyle \left[T\right]_{C}^{C}} דומות
למה 1 "יהי V {\displaystyle V} מ"ו מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } ו B = ( v 1 , . . , v n ) {\displaystyle B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)} בסיס של V {\displaystyle V} . ו P ∈ M n × n ( F ) {\displaystyle P\in M_{n\times n}\left(\mathbb {F} \right)} הפיכה. אז קיים בסיס C {\displaystyle C} של V {\displaystyle V} כך שקיימת מטריצה מעבר [ I d ] B C = p {\displaystyle \left[Id\right]_{B}^{C}=p} "
נתון P = ( p 11 p 1 n ⋮ ⋮ p n 1 p n n ) {\displaystyle P={\begin{pmatrix}p_{11}&&p_{1n}\\\vdots &&\vdots \\p_{n1}&&p_{nn}\end{pmatrix}}} .
נגדיר צ"ל של וקטור בבסיס B : w j = p 1 j v 1 + . . . + p n j v n = ∑ j = 1 n p i j v j {\displaystyle B:w_{j}=p_{1j}v_{1}+...+p_{nj}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}v_{j}} .
צ"ל כי w j = ( w 1 , . . , w n ) {\displaystyle w_{j}=\left(w_{1},..,w_{n}\right)} בסיס של V {\displaystyle V} .
נסמן את המטרציה ההפיכה Q = P − 1 {\displaystyle Q=P^{-1}} ונסמן Q = ( q 11 q 1 n ⋮ ⋮ q n 1 q n n ) {\displaystyle Q={\begin{pmatrix}q_{11}&&q_{1n}\\\vdots &&\vdots \\q_{n1}&&q_{nn}\end{pmatrix}}}
יהי 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle 1\leq k\leq n} , כך ש- q i ∈ Q {\displaystyle q_{i}\in Q} נראה ש q 1 k w 1 + . . . + q n k w n = ∑ j = 1 n q j k w j = ∑ j = 1 n q j k ∑ i = 1 n p i j v i = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n p i j ⋅ q j k ⋅ v i = ∑ i = 1 n ( ∑ j = 1 n p i j ⋅ q j k ) ⋅ v i = 0 ⋅ v 1 + . . . + 1 ⋅ v k + . . . + 0 v n = v k {\displaystyle q_{1k}w_{1}+...+q_{nk}w_{n}=\sum _{j=1}^{n}q_{jk}w_{j}=\sum _{j=1}^{n}q_{jk}\sum _{i=1}^{n}p_{ij}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}p_{ij}\cdot q_{jk}\cdot v_{i}=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}p_{ij}\cdot q_{jk}\right)\cdot v_{i}=0\cdot v_{1}+...+1\cdot v_{k}+...+0v_{n}=v_{k}} לכן v k ∈ T s p a n ( w 1 , . . , w n ) {\displaystyle v_{k}\in Tspan\left(w_{1},..,w_{n}\right)} לכל 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle 1\leq k\leq n} .
לפיכך s p a n ( w 1 , . . , w n ) = V {\displaystyle span\left(w_{1},..,w_{n}\right)=V} . מאחר ו dim V = n {\displaystyle \dim V=n} אז ( w 1 , . . , w n ) {\displaystyle \left(w_{1},..,w_{n}\right)} בת"ל. כלומר C = ( w 1 , . . , w n ) {\displaystyle C=\left(w_{1},..,w_{n}\right)} בסיס של V {\displaystyle V} וגם [ I d ] B C {\displaystyle \left[Id\right]_{B}^{C}} .
טענה 1: מטריצות מעברי הבסיסים [ T ] B B {\displaystyle \left[T\right]_{B}^{B}} ו [ T ] C C {\displaystyle \left[T\right]_{C}^{C}} דומות זו לזו
יהי V {\displaystyle V} מ"ו מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } , B = ( v 1 , . . , v n ) {\displaystyle B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)} בסיס של V {\displaystyle V} . T : V → V {\displaystyle T:V\to V} ה"ל ונתונות K , L ∈ M n × n ( F ) {\displaystyle K,L\in M_{n\times n}\left(\mathbb {F} \right)} מטריצות דומות זו לזו כך ש K = [ T ] B B {\displaystyle K=\left[T\right]_{B}^{B}} .
אז קיים בסיס C {\displaystyle C} של V {\displaystyle V} כך ש [ T ] C C = L {\displaystyle \left[T\right]_{C}^{C}=L}
הוכחה: מאחר ש K , L {\displaystyle K,L} דומות קיימת מטריצה P ∈ M n × n ( F ) {\displaystyle P\in M_{n\times n}\left(\mathbb {F} \right)} הפיכה כך ש: L = P − 1 ⋅ K ⋅ P = P − 1 ⋅ [ T ] B B ⋅ P {\displaystyle L=P^{-1}\cdot K\cdot P=P^{-1}\cdot \left[T\right]_{B}^{B}\cdot P}
לפי הלמה קיים בסיס C {\displaystyle C} של V {\displaystyle V} כך ש [ I d ] B C = P {\displaystyle \left[Id\right]_{B}^{C}=P} אז L = ( [ I d ] B C ) − 1 ⋅ [ T ] B B ⋅ [ I d ] B C = [ T ] C C {\displaystyle L=\left(\left[Id\right]_{B}^{C}\right)^{-1}\cdot \left[T\right]_{B}^{B}\cdot \left[Id\right]_{B}^{C}=\left[T\right]_{C}^{C}}