אלגברה לינארית/משפטים של מטריצות דומות

שקלו לדלג על נושא זה עד למידת הנושאים: דרגה (משפט 1, 2), דטרמיננטה (משפט 3) פולינום

משפט 1: מטריצות דומות בעלות אותה דרגה טענה: $K,L$ מטריצות $n\times n$ דומות זו לזו אז $rkK=rkL$ הוכחה: נגדיר $T_{k}:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} ^{n}$ ע"י $T_{k}\left(x\right)=Kx$ אז $\left[T_{k}\right]_{{\mathcal {E}}_{n}}^{{\mathcal {E}}_{n}}=K$. מאחר ש$L$ דומה ל $K$, קיים בסיס $C$ של $\mathbb {F} ^{n}$ כך ש $\left[T_{k}\right]_{C}^{C}=L$. לכן לפי הטענה הקודמת אז $rkK=rkT_{K}=rkL$.

משפט 2: דרגת המטריצה זהה לדרגת המטריצה המשוחלפת טענה: אם $A$ מטריצה $m\times n$ אז $rkA^{t}=rkA$ הוכחה: נגדיר $T_{A}:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} ^{m}$ ע"י $T_{A}\left(x\right)=Ax$. אז $\left[T_{A}\right]_{{\mathcal {E}}_{m}}^{{\mathcal {E}}_{n}}=A$. לפי טענה קודמת, $\left[T_{A}^{*}\right]_{{\mathcal {E}}_{m}^{*}}^{{\mathcal {E}}_{n}^{*}}=A^{t}$ ובנוסף $rkA=rkT_{A}=rkT_{A}^{*}=rkA^{t}$.

משפט 3: שתי מטריצות דומות בעלות אותה דטרמיננטה $|B|=|P^{-1}AP|=|P^{-1}|\cdot |A|\cdot |P|=|P^{-1}|\cdot |P|\cdot |A|=|P^{-1}P|\cdot |A|=|I|\cdot |A|=1\cdot |A|=|A|$

משפט 4: לשתי מטריצות דומות אותו פולינום אופייני (ולכן גם אותם ע"ע) הוכחה: נניח $B=P^{-1}AP$ . אז מתקיים: $p_{B}(x)=|xI-B|=|xI-P^{-1}AP|=|xP^{-1}IP-P^{-1}AP|=|P^{-1}(xI-A)P|=|P^{-1}|\cdot |xI-A|\cdot |P|$ אלה כמובן סקלרים בשדה ולכן יש קומוטאטיביות ביניהם: $|P^{-1}|\cdot |xI-A|\cdot |P|=|P^{-1}|\cdot |P|\cdot |xI-A|=|P^{-1}P|\cdot |xI-A|=|I|\cdot |xI-A|=1\cdot |xI-A|=p_{A}(x)$

משפט 5: תהי העתקה לינארית T ובסיס E ל- $\mathbb {F} ^{n}$ כך ש- $A=[T]_{E}$ ותהי B אזי A דומה ל-B אם ורק אם קיים בסיס F כך ש- $[T]_{F}=B$ משתי התכונות האחרונות (משפט 3,4) עולה כי ניתן להגדיר פולינום אופייני של העתקה בתור $p_{T}(x)=p_{A}(x)$ כאשר A היא מטריצה מייצגת כלשהי של P (כל המטריצות המייצגות של P דומות מהתכונה האחרונה, לכן יש לכולן פולינום אופייני ולכן הפולינום האופייני מוגדר היטב).