אלגברה לינארית/סוגי העתקות

הגדרה 1: העתקת האפס $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$. נגדיר $T:V\to W$ ע"י $T\left(v\right)=0_{W}$ לכל $v\in V$. $T$ היא העתקה ליניארית שנקראת העתקת אפס. מסמנים $T=0$ (כלומר $0:V\to W$) הוכחה: נוכיח כי העתקת האפס היא העתקה לינארית: אדיטיביות $T\left(v_{1}+v_{2}\right)=\underbrace {0} _{T(v)=0}=0+0=T\left(v_{1}\right)+T\left(v_{2}\right)$ הומוגניות $T\left(cv\right)=0=0\cdot c=c\cdot T\left(v\right)$

הגדרה 2: העתקת הזהות ($id_{A}$) $V$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$. העתקה $T=id_{v}:A\to A$ מוגדרת ע"י $id_{v}=f\left(x\right)=x$ לכל $x\in A$

הגדרה 3: העתקות הפוכות העתקות $f:A\to B$ ו$g:B\to A$ נקראות הפוכות זו לזו כאשר: $g\circ f=id_{A}$ כלומר $g\left(f\left(x\right)\right)=x$ לכל $x\in A$. ו-$f\circ g=id_{B}$. כלומר $f\left(g\left(y\right)\right)=y$ לכל $y\in B$.

הגדרה 4: העתקה חח"ע יהיו $V,W$ מ.ו מעל שדה $\mathbb {F}$ . תהי $T:V\to W$ העתקה לינארית. $T$ תקרא העתקה ח.ח.ע אם לכל $v_{1},v_{2}\in V:v_{1}\neq v_{2}$ ולכל $T(v_{1}),T(v_{2})\in W$ גורר $f(v_{1})\neq f(v_{2})$ , או לחילופין $T(v_{1})=T(v2)$ גורר $v_{1}=v_{2}$ .

הגדרה 5: העתקה על אם לכל $w\in W$ התמונה של לפחות $v\in V$ אחד.

הגדרה 6: העתקה איזומורפיזם העתקה ח.ח.ע ועל

משפט 1: תהי $T:V\to W$ העתקה לינארית חח"ע ועל אזי קיימת העתקה הפוכה $T^{-}1:W\to V$

הגדרה 7: העתקה לינארית - מטריצה $W=\mathbb {F} ^{m}$ ו-$V=\mathbb {F} ^{n}$ מרחב ווקטור של כל הפונקציות מ-$n,m$ לשדה. תהי $A$ מטריצה $m\times n$ עם מקדמים ב- $\mathbb {F}$. נגדיר $T_{A}:V\to W$ ע"י $T_{A}\left(v\right)=A\cdot v$ לכל $v\in V.T_{A}$ היא ה"ל. הערה: תהי $A\in A_{m\times n}$ ויהי $b\in \mathbb {F} ^{m}$. אז קבוצת הפתרונות של $Ax=b$ היא $T_{A}^{-1}\left(b\right)$ (כלומר התמונה ההפוכה של $b\in \mathbb {F} ^{m}$ דהיינו $T_{A}^{-1}\left(b\right)=\left\{x\in \mathbb {F} ^{n}\mid T_{A}\left(x\right)=b\right\}$ זוהי תמונה הפוכה של $b$ ביחס ל-$A$. ייתכן שתהיה קבוצה ריקה $\emptyset$. )

הגדרה 8: העתקה לינארית ממרחב הפונקציות תהי $S$ קבוצה. $V=\mathbb {F} ^{S},s\in S$. נגדיר $T_{s}:V\to \mathbb {F} ^{1}$ ע"י $T_{s}\left(f\right)=f\left(s\right)$ לכל $f\in V$.$T_{s}$ היא העתקה ליניארית: $T_{s}\left(f+g\right)=\left(f+g\right)\left(s\right)=f\left(s\right)+g\left(s\right)=T_{s}\left(f\right)+T_{s}\left(g\right)$ $T_{s}\left(c\cdot f\right)=\left(c\cdot f\right)\left(s\right)=c\cdot \left(f\left(s\right)\right)=c\cdot T_{s}\left(f\right)$ הערה: אוסף הפונקציות שמתאפסות באיבר מסויים, ניתן לתאר ע"י תמונה הפוכה: $\left\{f\in \mathbb {F} ^{S}\mid f\left(s\right)=0\right\}=\left\{f\in \mathbb {F} ^{S}\mid T_{S}\left(f\right)=0\right\}=T_{s}^{-1}\left(0\right)$

הגדרה 7: העתקה לינארית של פולינום יהי $V=\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]$. נגדיר $D:V\to V$ ע"י:$D\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...\right)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+...$ (נגזרת היא העתקה לינארית) אז $D$ היא העתקה ליניארית. הוכחה:להשלים

הגדרה 7: העתקה לינארית - פונקציה $V=\mathbb {F} ^{\mathbb {F} }$, ו- $h:\ \mathbb {F} \to \mathbb {F}$. נגדיר $T_{h}:V\to V$ ע"י $T_{h}\left(f\right)=h\cdot f$. לכל $f\in V$ אז $T_{h}$ היא ה"ל. (הפונקציות עצמן לא בהכרח ליניאריות)

סוג נוסף של העתקה היא העתקה לינארית יחידה