אלגברה לינארית/סיכום משפטים חשובים בדטרמיננטה


משפט 1: אם מטריצה אינה הפיכה אז

הוכחנו בפרק דטרמיננטה (טענה 3) נציג שנית.

מאחר ש-מטריצה A אינה הפיכה, למערכת המשוואות Ax=0 קיים פתרון לא טריוויאלי.

לכן ת"ל כלומר קיים כך ש-

כאשר

נגדיר מטריצות :

אזי

אזי

אזי

אזי

אזי

מאחר שלינארי ובפרט לפי עמודה נקבל



משפט 2: אם אז

  • אם אינה הפיכה אז גם אינה הפיכה ולכן:
  • אם הפיכה אז קיימות מטריצות לאמנטריות כך ש-

לכן לפי טענת 6 בפרק דטרמיננטה,

מכיוון ימיני: על כן הביטוים זהים ולכן הטענה נכונה.


טענה 1: אז



משפט 3: תהי אז

נוכיח תחילה כי אם מטריצה אלמנטרית אז :

אם או אז כלומר היא המטריצה מכאן

עתה נוכיח את המשפט הראשי:

  • אם אינה הפיכה אז ולכן נותר רק לנמק מדוע אינה הפיכה.

איך נבצע זאת? הדרגה של מטריצה משוחלפת שווה למטריצה המקורית. הדרגה הוא מימד העמודות של המטריצה.

אם המטריצה אינה הפיכה אז הקבוצה הפורשת אינו כל המימד: אזי

מכאן נסיק על המטריצה המשוחלפת , שהפרוש של העמודות שלה גם הוא שונה מ- ולפיכך אינה הפיכה ולכן

  • אם הפיכה אז קיימות מטריצות לאמנטריות כך ש- אז לפי טענת העזר לעיל

על פי כפילויות של דטרמיננטות, לפי הטענה הקודמת, ושוב כפילויות,