משפט 1: אם מטריצה A {\displaystyle A} אינה הפיכה אז D ( A ) = 0 {\displaystyle D(A)=0}
הוכחנו בפרק דטרמיננטה (טענה 3) נציג שנית.
מאחר ש-מטריצה A אינה הפיכה, למערכת המשוואות Ax=0 קיים פתרון לא טריוויאלי.
לכן ( v 1 , . . . , v n ) {\displaystyle (v_{1},...,v_{n})} ת"ל כלומר קיים 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle 1\leq j\leq n} כך ש- v j = c 1 v 1 + . . . + c j − 1 v j − 1 + c j + 1 v j + 1 + . . . + c n v n {\displaystyle v_{j}=c_{1}v_{1}+...+c_{j-1}v_{j-1}+c_{j+1}v_{j+1}+...+c_{n}v_{n}}
כאשר c 1 , . . . , c i − 1 , c i + 1 , . . . , c n ∈ F {\displaystyle c_{1},...,c_{i-1},c_{i+1},...,c_{n}\in \mathbb {F} }
נגדיר מטריצות : A = A 0 = [ v 1 . . . v j − 1 v j v j + 1 . . . v n ] {\displaystyle A=A_{0}=[v_{1}...v_{j-1}\!v_{j}\ v_{j+1}...v_{n}]}
A 1 = [ v 1 . . . v j − 1 v 1 v j + 1 . . . v n ] {\displaystyle A_{1}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{1}\ v_{j+1}...v_{n}]} אזי D ( A 1 ) = 0 {\displaystyle D(A_{1})=0}
A 2 = [ v 1 . . . v j − 1 v 2 v j + 1 . . . v n ] {\displaystyle A_{2}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{2}\ v_{j+1}...v_{n}]} אזי D ( A 2 ) = 0 {\displaystyle D(A_{2})=0}
⋮ {\displaystyle \vdots }
A j − 1 = [ v 1 . . . v j − 1 v j − 1 v j + 1 . . . v n ] {\displaystyle A_{j-1}=[v_{1}...v_{j-1}\!v_{j-1}\ v_{j+1}...v_{n}]} אזי D ( A j-1 ) = 0 {\displaystyle D(A_{\text{j-1}})=0}
A j + 1 = [ v 1 . . . v j − 1 v j + 1 v j + 1 . . . v n ] {\displaystyle A_{j+1}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{j+1}\ v_{j+1}...v_{n}]} אזי D ( A j + 1 ) = 0 {\displaystyle D(A_{j+1})=0}
A n = [ v 1 . . . v j − 1 v n v j + 1 . . . v n ] {\displaystyle A_{n}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{n}\ v_{j+1}...v_{n}]} אזי D ( A n ) = 0 {\displaystyle D(A_{n})=0}
מאחר שלינארי ובפרט לפי עמודה j {\displaystyle j} נקבל D ( A ) = D ( A 0 ) = c 1 D ( A 1 ) + . . . + c j − 1 D ( A j − 1 ) + c j + 1 D ( A j + 1 ) + . . . + c n D ( A n ) = 0 {\displaystyle D(A)=D(A_{0})=c_{1}D(A_{1})+...+c_{j-1}D(A_{j-1})+c_{j+1}D(A_{j+1})+...+c_{n}D(A_{n})=0}
משפט 2: אם A , B ∈ M n x n ( F ) {\displaystyle A,B\in M_{nxn}(\mathbb {F} )} אז d e t ( B A ) = d e t B ∗ d e t A {\displaystyle det(BA)=detB*detA}
לכן לפי טענת 6 בפרק דטרמיננטה, d e t ( B A ) = d e t ( B E 1 . . . E s − 1 E s ) = d e t ( B E 1 , . . . , E s − 1 ) d e t ( E s ) = . . . = d e t ( B ) d e t ( E 1 ) . . . d e t ( E s ) {\displaystyle det(BA)=det(BE_{1}...E_{s-1}E_{s})=det(BE_{1},...,E_{s-1})det(E_{s})=...=det(B)det(E_{1})...det(E_{s})}
מכיוון ימיני: d e t ( B ) d e t ( A ) = d e t ( B ) d e t ( E 1 . . . E s − 1 ) d e t ( E s ) . . . d e t ( B ) d e t ( E 1 ) . . . d e t ( E s ) {\displaystyle det(B)det(A)=det(B)det(E_{1}...E_{s-1})det(E_{s})...det(B)det(E_{1})...det(E_{s})} על כן הביטוים זהים ולכן הטענה נכונה.
טענה 1: A , B ∈ M n x n ( F ) {\displaystyle A,B\in M_{nxn}(\mathbb {F} )} אז ( B A ) t = A t B t {\displaystyle (BA)^{t}=A^{t}B^{t}}
משפט 3: תהי A ∈ M n x n ( F ) {\displaystyle A\in M_{nxn}(\mathbb {F} )} אז d e t ( A t ) = d e t ( A ) {\displaystyle det(A^{t})=det(A)}
נוכיח תחילה כי אם E ∈ M n x n ( F ) {\displaystyle E\in M_{nxn}(\mathbb {F} )} מטריצה אלמנטרית אז d e t ( E t ) = d e t ( E ) {\displaystyle det(E^{t})=det(E)} :
אם ε : C i ⇔ C j {\displaystyle \varepsilon :C_{i}\Leftrightarrow C_{j}} או ε : C i ⇔ C j {\displaystyle \varepsilon :C_{i}\Leftrightarrow C_{j}} אז E t = E {\displaystyle E^{t}=E} כלומר E t {\displaystyle E^{t}} היא המטריצה ε ′ : C i ⇔ C j + c C i {\displaystyle \varepsilon ':C_{i}\Leftrightarrow C_{j}+cC_{i}} מכאן D ( E ) = D ( I ) = D ( E t ) {\displaystyle D(E)=D(I)=D(E^{t})}
עתה נוכיח את המשפט הראשי:
איך נבצע זאת? הדרגה של מטריצה משוחלפת שווה למטריצה המקורית. הדרגה הוא מימד העמודות של המטריצה.
אם המטריצה אינה הפיכה אז הקבוצה הפורשת אינו כל המימד: ( s p a n ( v 1 , . . . , v n ) ≠ F n {\displaystyle (span(v_{1},...,v_{n})\neq \mathbb {F} ^{n}} אזי r k A t = r k A = d i m S p a n ( v 1 , . . . , v n ) < n {\displaystyle rkA^{t}=rkA=dimSpan(v_{1},...,v_{n})<n}
מכאן נסיק על המטריצה המשוחלפת A t {\displaystyle A^{t}} , שהפרוש של העמודות שלה גם הוא שונה מ- F n {\displaystyle \mathbb {F} ^{n}} ולפיכך A t {\displaystyle A^{t}} אינה הפיכה ולכן d e t ( A ) = 0 = d e t ( A t ) {\displaystyle det(A)=0=det(A^{t})}
על פי כפילויות של דטרמיננטות, לפי הטענה הקודמת, ושוב כפילויות, d e t ( A t ) = d e t ( E s t ) . . . d e t ( E s t ) = d e t ( E s ) . . . d e t ( E 1 ) = d e t ( E 1 ) . . . d e t ( E s ) = d e t ( A ) {\displaystyle det(A^{t})=det(E_{s}^{t})...det(E_{s}^{t})=det(E_{s})...det(E_{1})=det(E_{1})...det(E_{s})=det(A)}
אינה הפיכה אז 
ת"ל כלומר קיים 
כך ש-
![{\displaystyle A=A_{0}=[v_{1}...v_{j-1}\!v_{j}\ v_{j+1}...v_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0ef8c399bf7d07b35ce737115aaf5365a690c5)
![{\displaystyle A_{1}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{1}\ v_{j+1}...v_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cd0e7918fc38c37ef3717131ba8f61b480ac68)
אזי 
![{\displaystyle A_{2}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{2}\ v_{j+1}...v_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee36ac0f0808b3e9eb12d9e891b92cbcf506395)
אזי 
![{\displaystyle A_{j-1}=[v_{1}...v_{j-1}\!v_{j-1}\ v_{j+1}...v_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea3ea0905c835819463c8bca8b1b14c6dfbf48c)
אזי 
![{\displaystyle A_{j+1}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{j+1}\ v_{j+1}...v_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd0907013f0fee56d7a866ed27225e239c8dfc4)
אזי 
![{\displaystyle A_{n}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{n}\ v_{j+1}...v_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f98af7e7afb63d81facda3e50381b7e781ca76c)
אזי 
נקבל 
