אלגברה לינארית/סיכום משפטים חשובים בדטרמיננטה
משפט 1: אם מטריצה אינה הפיכה אז הוכחנו בפרק דטרמיננטה (טענה 3) נציג שנית. מאחר ש-מטריצה A אינה הפיכה, למערכת המשוואות Ax=0 קיים פתרון לא טריוויאלי. לכן ת"ל כלומר קיים כך ש- כאשר נגדיר מטריצות : אזי אזי
אזי אזי
אזי מאחר שלינארי ובפרט לפי עמודה נקבל |
משפט 2: אם אז
לכן לפי טענת 6 בפרק דטרמיננטה, מכיוון ימיני: על כן הביטוים זהים ולכן הטענה נכונה. |
טענה 1: אז |
משפט 3: תהי אז נוכיח תחילה כי אם מטריצה אלמנטרית אז : אם או אז כלומר היא המטריצה מכאן עתה נוכיח את המשפט הראשי:
איך נבצע זאת? הדרגה של מטריצה משוחלפת שווה למטריצה המקורית. הדרגה הוא מימד העמודות של המטריצה. אם המטריצה אינה הפיכה אז הקבוצה הפורשת אינו כל המימד: אזי מכאן נסיק על המטריצה המשוחלפת , שהפרוש של העמודות שלה גם הוא שונה מ- ולפיכך אינה הפיכה ולכן
על פי כפילויות של דטרמיננטות, לפי הטענה הקודמת, ושוב כפילויות, |