אלגברה לינארית/דטרמיננטה

הגדרה 1: פונקציה לינארית מתחלפת פונקציה n־לינארית $D:M_{n\times n}(\mathbb {F} )\to \mathbb {F}$ (נסמן את הפונקציה ב־$D$ מאחר שבהמשך נראה כי היא מייצגת את הדטרמיננטה של המטריצה) נקראת מתחלפת כאשר לכל מטריצה $A$ שיש לה שתי עמודות סמוכות זהות מתקיים $D(A)=0$.

הגדרה 2: פונקציה לינארית מתחלפת מנורמלת פונקציה $n$־לינארית מתחלפת $D:M_{n\times n}(\mathbb {F} )\to \mathbb {F}$ נקראת מנורמלת כאשר $D(I_{n})=1$. הערה: כאשר $n=1$ הפונקציה $D:M_{n\times n}(\mathbb {F} )\to \mathbb {F}$ המוגדרת על־ידי $D=(1)$ כלומר $D(a)=a$ היא 1־לינארית מתחלפת (באופן ריק) ומנורמלת.

משפט 1: פונקציה $n-1$־לינארית, מתחלפת ומנורמלת גוררת פונקציה $n$ לינארית, מתחלפת ומנורמלת אם $D:M_{(n-1)\times (n-1)}(\mathbb {F} )\to \mathbb {F}$ פונקציה $n-1$־לינארית, מתחלפת ומנורמלת, $1\leq i\leq n$ ${\tilde {D_{i}}}:M_{nxn}(\mathbb {F} )\to \mathbb {F}$ מוגדרת באופן הבא: עבור $A={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$ נגדיר ${\tilde {D}}_{i}(A)=(-1)^{i}{\Big [}-a_{i1}D(A_{i1})+a_{i2}D(a_{i2})+\cdots +(-1)^{n}a_{in}D(A_{in}){\Big ]}$ כאשר $A_{ij}$ היא מטריצה $(n-1)\times (n-1)$ המתקבלת מ־$A$ על־ידי מחיקת השורה ה־$i$ והעמודה ה־$j$. אז ${\tilde {D}}_{i}$ היא פונקציה $n$־לינארית, מתחלפת ומנורמלת. הוכחה נוכיח כי ${\tilde {D}}_{i}$ היא פונקציה $n$־לינארית: נראה כי לכל $1\leq j\leq n$ הפונקציה $F(A)=a_{ij}D(A_{ij})$ היא פונקציה $n$־לינארית. [$D(A_{ij})$ היא פונקציה $n-1$־לינארית, כלומר לינארית לפי כל אחת מעמודות מטריצה $A_{ij}$. עמודות מטריצה $A_{ij}$ הן עמודות המטריצה המקורית $A$, לאחר מחיקת העמודה ה־$j$] מאחר ש־$D$ פונקציה $n-1$־לינארית, $D(A_{ij})$ כפונקציה של $A$ לינארית לפי כל העמודות פרט לעמודה ה־$j$. [עתה כשכופלים את $D(A_{ij})$ בסקלר $A_{ij}$, כך שנקבל $F(A)=a_{ij}D(A_{ij})$, כל הביטוי עדין לינארי פרט לעמודה ה־$j$, מאותה סיבה שהוזכרה לעיל] לכן גם $F(A)$ לינארית לפי כל העמודות פרט לעמודה ה־$j$. [על כן בכפל בין $a_{ij}D(A_{ij})$ ההשפעה על העמודה ה־$j$ תלויה לחלוטין בסקלר $A_{ij}$, כלומר במטריצה $A$, ובמדויק – בפונקציה לינארית לפי העמודה ה־$j$ ב־$A$] לכן $A_{ij}$ כפונקציה של $A$ לינארי לפי העמודה ה־$j$, ומכאן $F(A)$ לינארי לפי העמודה ה־$j$. על כן $F(A)$ היא $n$־לינארית לכל $1\leq j\leq n$. מאחר שצירוף לינארי של פונקציות $n$־לינאריות הוא פונקציה $n$־לינארית, אנו מסיקים כי גם ${\tilde {D}}_{i}$ היא $n$־לינארית. נוכיח כי ${\tilde {D_{i}}}$ היא מתחלפת תהי$A$מטריצה כך שהעמודה ה-k של$A$ זהה לעמודה ה -k+1 של$A$. צ"ל: ${\tilde {D_{i}}}$ של$A$הוא אפס. [בהוכחה נעזר בעבודה שהפונקציה$D$מתחלפת כלומר אם מפעילים$D$על מטריצה $(n-1)*(n-1)$ אם שתי עמודות סמוכות שוות מתקבלות אפס. נתבונן על ${\tilde {D_{i}}}\left(A\right)=\left(-1\right)^{i}\left(-a_{i1}D\left(A_{i1}\right)+a_{i2}D\left(a_{i2}\right)+...\left(-1\right)^{n}a_{in}D\left(A_{in}\right)\right)$ הוא סכום שבכל מחובר יש$D$שמופעל על מטריצות שונות. תחת ההנחה של-A יש שתי עמודות סמוכות שוות, mנוכל להסיק כי ${\tilde {D_{i}}}$, בהתאם לאיזה עמודה גדולה במטריצה ה-A, דהיינו, אם יש לנו שתי עמודות שוות, $k$ ו-$k+1$, והורדנו עמודה אחרת פרט לעמודה אלו, במטריצה שתשאר יהיו שתי עמודות שוות כלומר אם מורידים$j$ שאינו $k,\ k+1$ נקבל שתי עמודות שוות נרשום זאת:] לכל $1\leq j\leq n$ פרט ל-$j=k,\ j=k+1$במטריצה $A_{ij}$ יהיו שתי עמודות סמוכות שוות ולכן$D(A_{ij})=0$ [עתה עלינו להראות מה קורה כאשר מורידים את העמודה ה-$k,k+1$. לבנתים נוכל לומר כי כל המחוברים פרט לאלו התלוים בעמודות ה-k,k+1מתאפסים ונותרים שני מחוברים התלוים בעמודות אלו:] ${\tilde {D_{i}}}\left(A\right)=\left(-1\right)^{i}\left((-1)^{k}a_{ik}D\left(A_{k}\right)+(-1)^{k+1}a_{i,k+1}D\left(A_{i,k+1}\right)\right)$ מאחר ש-$a_{ik}=a_{i,k+1}$ וגם $A_{ik}=A_{i,k+1}$ אנו מסיקים כי ${\tilde {D_{i}}}\left(A\right)=0$ כלומר ${\tilde {D_{i}}}$מתחלפת. דוגמה: נוכיח כי ${\tilde {D_{i}}}$ היא מנורמלת צ"ל: ${\tilde {D_{i}}}\left(I_{n}\right)=1$ כלומר לבחון מה קורה כאשר$A=In$. אם$A=In$ אז $A_{ij}=0$ כל פעם ש-$j\neq i$ (כפל עם מטריצת היחידה). לכן ${\tilde {D_{i}}}\left(A\right)=\left(-1\right)^{i}((-1)^{i}a_{ii}D(A_{ii}))=D(A_{ii})$ מאחר ש-$A_{ii}=I_{n-1}$ (הורדנו ממטריצת יחידה עמודה ושורה) ניתן להסיק כי ${\tilde {D_{i}}}\left(A\right)=1$ כלומר ${\tilde {D_{i}}}$ מנורמלת. דוגמה: תהי $D:M_{nXn}(\mathbb {F} )\rightarrow \mathbb {F} ,D(a)=a$ $D=1$ היא לינארית, מתחלפת ומנורמלת. דוגמון: נבחר $A={\begin{pmatrix}a_{11}&&a_{12}\\\\a_{21}&&a_{22}\end{pmatrix}}\in M_{2x2}(\mathbb {F} ).$ נחשב את ${\tilde {D_{1}}}\left(A\right)$ ו-${\tilde {D_{2}}}\left(A\right)$: [למעשה הסברנו איך מבצעים דטרמיננטה באמצעות הורדת שורה ועמודה על מטריצה 2x2 ובמקרה זה נותר רק איבר אחד לאחר ביצוע ההורדה:] ${\tilde {D_{1}}}\left(A\right)=(-1)^{1}(-a_{11}D(A_{11})+a_{12}D(A_{12}))=-(-a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ ${\tilde {D_{2}}}\left(A\right)=(-1)^{2}(-a_{21}D(A_{21})+a_{22}D(A_{22}))=-(-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11})=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ (דוגמאות יישומיות ראה בחישוב דטרמיננטה לפי נוסחת לפלס (מינורים)) מסקנה: לכל n קיימת פונקציה $D:M_{nxn}(\mathbb {F} )\rightarrow \mathbb {F}$, n לינארית מתחלפת ומנורמלת. נוכיח כי קיימת פונקציה יחידה כזו באמצעות הטענות הבאות.

טענה 1: בעת החלפת שורות בעת דירוג מטריצה $\leftarrow$ דטרמיננטה של מינוס המטריצה המקורית. נתונה $D:M_{nxn}(\mathbb {F} )\rightarrow \mathbb {F}$, $n$ לינארית מתחלפת ומנורמלת, ומטריצה $A\in M_{nxn}(\mathbb {F}$ כך שהעמודה ה-$j$ של $A$ היא $v_{j}$ כלומר $A=[v_{1}v_{2}...v_{n}]$ צ"ל: אם $B\in M_{nxn}(\mathbb {F} )$ מתקבלת מ-$A$ על ידי החלפה של העמודה ה-$k$ עם העמודה ה-$l$, כלומר $B=[v_{1}...v_{k-1}v_{k+1}v_{k}v_{k+2}...v_{n}]$ אז $D(B)=-D(A)$ הוכחה: נגדיר מטריצות כאשר החלפנו בה עמודות צמודות בין $k,k+1$: $A=A_{0}=[...v_{k}\ v_{k+1}...]$ $A_{1}=[...v_{k}\ v_{k}...]$אזי $D(A_{1})=0$ (ע"פ ההגדרה 1 של פונקציה לינארית מתחלפת) $A_{2}=[...v_{k}\ v_{k}+v_{k+1}...]$ נחבר את שתי המטריצות לעיל ונקבל, $D(A_{2})=D(A_{0})+D(A_{1})=D(A)$ $A_{3}=[...v_{k+1}\ v_{k+1}...]$ אזי $D(A_{3})=0$ $A_{4}=[...v_{k+1}\ v_{k}...]$ צ"ל להוכיח נסמנה $B$ $A_{5}=[...v_{k+1}v_{k}+v_{k+1}...]$ אזי $D(A_{5})=D(A_{3})+D(A_{4})=D(B)$ $A_{6}=[...v_{k}+v_{k+1}\ v_{k}+v_{k+1}...]$ אזי $D(A_{6})=0$ מאחר ש-$D(A_{6})=D(A_{2})+D(A_{5})=D(A)+D(B)=0$ כלומר $D(A)+D(B)=0$ אזי $D(B)=-D(A)$ נוכיח את הטענה לכל החלפה של עמודות כלומר אם $B\in M_{nxn}(\mathbb {F} )$ מתקבלת מ-$A$ על ידי החלפה של העמודה ה-$k$ עם העמודה ה-$l$, כלומר $B=[v_{1}...v_{k-1}v_{k+1}v_{k}v_{k+2}...v_{n}]$ אז $D(B)=-D(A)$: נבצע החלפה בין שתי שורות צמודות שוב ושוב: ${\begin{aligned}A=A_{0}=[...v_{k}\ v_{k+1}\ v_{k+2}...v_{l-2}\ v_{l-1}\ v_{l}...]\\A_{1}=[...v_{k+1}\ v_{k}\ v_{k+2}...v_{l-2}\ v_{l-1}\ v_{l}...]\\A_{2}=[...v_{k+1}\ v_{k+2}\ v_{k}...v_{l-2}\ v_{l-1}\ v_{l}...]\\\vdots \\A_{l-k}=[...v_{k+1}\ v_{k+2}\ v_{k+3}...v_{l-1}\ v_{l}\ v_{k}...]\end{aligned}}$ $A_{(l-k)+(l-k-1)}=A_{l-k+1}=[...v_{k+1}\ v_{k+2}\ v_{k+3}...v_{l}\ v_{l-1}\ v_{k}...]$ צ"ל להוכיח נסמנה $B$ לפי טענת העזר הראשונה מתקיים כי $D(A_{l+1})=-D(A_{i})$ ולכן נסיק כי $D(B)=D(A_{2(l-k)-1})=(-1)^{2(l-k)-1}D(A_{0})=-D(A)$

טענה 2: אם במטריצה $A$ יש שתי עמודות זהות $A=[v_{1},\dots ,v_{k-1},\ v_{k},\ v_{k+1},\ ...v_{l-1},\ v_{k},\ v_{l+1},\dots v_{n}]$, אזי $D(A)=0$. נגדיר מטריצה $B=[v_{1}...v_{k-1}\ v_{k}\ v_{k}\ ...v_{l-1}\ v_{k+1}\ v_{l+1}\ ...v_{n}]$ אז $D(B)=0$. נבצע החלפת שורות. לפי טענה $1$ מתקיים $D(A)=-D(B)=0$

טענה 3: אם מטריצה $A$ אינה הפיכה אז $D(A)=0$ מאחר ש-מטריצה Aאינה הפיכה, למערכת המשוואות Ax=0קיים פתרון לא טריוויאלי. לכן $(v_{1},...,v_{n})$ ת"ל כלומר קיים $1\leq j\leq n$ כך ש-$v_{j}=c_{1}v_{1}+...+c_{j-1}v_{j-1}+c_{j+1}v_{j+1}+...+c_{n}v_{n}$ כאשר $c_{1},...,c_{i-1},c_{i+1},...,c_{n}\in \mathbb {F}$ נגדיר מטריצות : $A=A_{0}=[v_{1}...v_{j-1}\!v_{j}\ v_{j+1}...v_{n}]$ $A_{1}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{1}\ v_{j+1}...v_{n}]$ אזי $D(A_{1})=0$ $A_{2}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{2}\ v_{j+1}...v_{n}]$ אזי $D(A_{2})=0$ $\vdots$ $A_{j-1}=[v_{1}...v_{j-1}\!v_{j-1}\ v_{j+1}...v_{n}]$ אזי $D(A_{\text{j-1}})=0$ $A_{j+1}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{j+1}\ v_{j+1}...v_{n}]$ אזי $D(A_{j+1})=0$ $\vdots$ $A_{n}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{n}\ v_{j+1}...v_{n}]$ אזי $D(A_{n})=0$ מאחר שלינארי ובפרט לפי עמודה $j$ נקבל $D(A)=D(A_{0})=c_{1}D(A_{1})+...+c_{j-1}D(A_{j-1})+c_{j+1}D(A_{j+1})+...+c_{n}D(A_{n})=0$

טענה 4: אם $B\in M_{nxn}(\mathbb {F} )$ מתקבלת מ-$A$ על ידי פעולות אלמנטריות $i\neq j,C_{j}\rightarrow C_{j}+c*C_{i}$ אז $D(B)=D(A)$ נגדיר מטריצות: $A=[v_{1}...v_{i}...v_{j}...v_{n}]$ $A_{1}=[v_{1}...v_{i}...v_{j-1}\ v_{i}\ v_{j+1}...v_{n}]$ אזי $D(A_{1})=0$ $B=[v_{1}\ v_{1}...v_{j+1}\ v_{j}+cv_{i}...v_{n}]$ $D(B)=D(A)+cD(A_{1})=D(A)$

טענה 5: אם $B\in M_{nxn}(\mathbb {F} )$ מתקבלת מ-$A$ על ידי פעולות אלמנטריות $i\neq j,C_{j}\rightarrow C_{j}+c*C_{i}$ אז $D(B)=D(A)$ נגדיר מטריצות: $A=[v_{1}...v_{i}...v_{j}...v_{n}]$ $A_{1}=[v_{1}...v_{i}...v_{j-1}\ v_{i}\ v_{j+1}...v_{n}]$ אזי $D(A_{1})=0$ $B=[v_{1}\ v_{1}...v_{j+1}\ v_{j}+cv_{i}...v_{n}]$ $D(B)=D(A)+cD(A_{1})=D(A)$

טענה 6: דטרמיננטה של פעולות אלמנטריות (החלפה, כפל וחיבור) תהי מטריצה של פעולה אלמנטרית $\varepsilon$ היא $E=\varepsilon (I_{n})$ נוכיח כי דטרמיננטה הכפלה על מטריצה יחידה: הכפלה בקבוע: תהי הפעולה האלמנטרית $\varepsilon :C_{i}\rightarrow c*C_{i}$ אז $D(E)=cD(I)=c$ החלפת שורה: תהי הפעולה האלמנטרית $\varepsilon :C_{i}\Leftrightarrow C_{j}$ אז $D(E)=-D(I)=-1$ הוספה של קבועה: תהי הפעולה האלמנטרית $\varepsilon :C_{i}\Leftrightarrow C_{j}+cC_{i}$ אז $D(E)=D(I)=1$ נזכיר: אם $\varepsilon$ היא פעולת עמודה אלמנטרית אז $\varepsilon (A)=AE$ נוכיח כי דטרמיננטה הכפלה על מטריצה יחידה נכונה לכל מטריצה: תהי $\varepsilon$ היא פעולת עמודה אלמנטרית כך ש-$E=\varepsilon (I_{n})$ אז $D(AE)=D(A)*D(E)$ הכפלה בקבוע: אם $\varepsilon :C_{i}\Leftrightarrow C_{j}$ אזי מלינאריות ומטענה $6$ נקבל :$D(AE)=D(\varepsilon (A))=cD(A)=D(A)*D(E)$ החלפת שורה: אם $\varepsilon :C_{i}\Leftrightarrow C_{j}$ אזי מטענה $2$ ומטענה $6$ נקבל : $D(AE)=D(\varepsilon (A))=D(A)=D(A)*D(E)$ הוספה של קבועה: אם $\varepsilon :C_{i}\Leftrightarrow C_{j}+cC_{i}$ אזי מטענה $5$ ומטענה $6$ נקבל: $D(AE)=D(\varepsilon (A))=D(A)=D(A)*D(E)$ (לדוגמה פרקטית ראה חישוב דטרמיננטה באמצעות דירוג

משפט 2: לכל n קיימת פונקציה $D:M_{nxn}(\mathbb {F} )\rightarrow \mathbb {F}$, n לינארית מתחלפת ומנורמלת יחידה צ"ל: אם $D,D':M_{nxn}(\mathbb {F} )\rightarrow \mathbb {F}$ פונקציות $n$ לינאריות, מתחלפות ומנורמלות אז $D(A)=D'(A)$ לכל מטריצה $A\in M_{nxn}(\mathbb {F} )$ נחלק למקרים: אם $A$ אינה הפיכה אז $D(A)=0=D'(A)$ אם $A$ הפיכה אז קיימות מטריצות אלמנטריות $E_{1},...,E_{s}$ כך ש-$A=E_{1}E_{2}...E_{s}$ לפי טענת $6$ נקבל $D(A)=D(E_{1}...E_{s-2}E_{s-1}E_{s})=D(E_{1}...E_{s-1})D(E_{s})=D(E_{1...}E_{s-2})D(E_{s-2})D(E_{s})$ נמשיך ככה באינדוקציה ונקבל $D(A)=D(E_{1}...E_{s-2}E_{s-1}E_{s})=D(E_{1}...E_{s-1})D(E_{s})=D(E_{1...}E_{s-2})D(E_{s-2})D(E_{s})=...=D(E_{1})...D(E_{s-2})D(E_{s-1})D(E_{s})$ בדומה מתקיים ש- $D'(A)=D'(E_{1})...D'(E_{s-2})D'(E_{s-1})D'(E_{s})$ לפי טענה 5: $D(E_{i})=D'(E_{i})$ לכל $1\leq i\leq s$ לכן נקבל $D(A)=D'(A)$ במילים אחרות, $det(a_{n})=a_{n}$ $det{\begin{pmatrix}a_{11}&&a_{12}\\\\a_{21}&&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ על כן הוכחנו ייחודיות: לכל $n\in \mathbb {N}$ קיימת פונקציה n לינארית מתחלפת מנורמלת יחידה. פונקציה זו נקראת דטרמיננטה ומסומנת $det:M_{nxn}(\mathbb {F} )\rightarrow \mathbb {F}$