אלגברה לינארית/פתרונות של מערכת משוואות הומוגנית

בחלק זה נרחיב את הדיון על פתרונות של מטריצה מדורגת רק שנתמקד בחלק זה במטריצות המתקבלות ממערכת משוואות הומוגנית כלומר שקבוצת הפתרונות שלה היא .

לפחות פתרון יחידעריכה

טענה 1: לכל מערכת משוואות הומוגנית קיים לפחות פתרון אחד

אינסופיתעריכה

טענה 2: אם במערכת משוואות הומוגנית   אז קבוצת הפתרונות היא אינסופית

כשמדרגים את המטריצה   נקבל את המטריצה   - כאשר   מדורגת מצומצמת.

נתון כי מספר האיברים המובילים במטריצה   קטן ממספר העמודות  ,

אז ב-  יש עמודה בלי איבר מוביל, מכאן בקבוצת הפתרונות של המערכת יהיה לפחות פרמטר אחד  , ולכן קבוצת הפתרון אינסוף פתרונות

פתרון יחידעריכה

טענה 3: תהי מטריצה   אז למערכת המשוואות ההומוגנית   יהיה פתרון יחיד אמ"מ   הפיכה

מכיוון ראשון, אם   הפיכה אז קיים פתרון יחיד:

נתון   הפיכה ולכן קיימת מטריצה   הפוכה ל  .

אם  , ווקטור, הוא פתרון של  , אז  

כלומר   ולכן למערכת המשוואות,   יש פתרון יחיד .

מכיוון שני, אם קיים פתרון יחיד אז הפיכה:

נניח בשלילה ש-  אינה הפיכה, ונגיע לסתירה:

נסמן ב-  מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ-  ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות.

  אינה הפיכה לכן   ולכן השורה האחרונה של   היא שורת אפסים.

קבוצות הפתרונות של מערכות המשוואות   ו-  זהות.

לכן ל-  יש פתרון יחיד כפי שהוכחנו לעיל.

מצד שני, מאחר שבמטריצה  , יש ב-  עמודה ללא איבר מוביל,

בהצגה פרמטרית של   צריך להיות לפחות פרמטר אחד, ולכן יש אינסוף פתרונות.

זוהי סתירה.