בפרק זה נחזור על טענה שהופיע במרחב העמודות, השורות והאפס, נפשט אותה ונדגימה:
טענה 5: יהי V = F n {\displaystyle V=\mathbb {F} ^{n}} ו- S = { v 1 , . . , v k } {\displaystyle S=\left\{v_{1},..,v_{k}\right\}} תת קבוצה של F n {\displaystyle \mathbb {F} ^{n}} . נרשום את העמודות באמצעות קבוצת הווקטורים v 1 , . . , v k {\displaystyle v_{1},..,v_{k}} נייצר מטריצה בגודל n × k {\displaystyle n\times k} כך שנקבל A = [ v 1 … v k ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}v_{1}&\dots &v_{k}\end{bmatrix}}} אז span S = { v ∈ F n | A x = v , x ∈ F k } {\displaystyle {\text{span}}S=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}|Ax=v,x\in \mathbb {F} ^{k}\right\}}
הכלה מכיוון א':
נניח כי למערכת A x = v {\displaystyle Ax=v} קיים פתרון. נסמנו ב- x = [ c 1 c 2 ⋮ c k ] {\displaystyle x={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}} . נבצע הצבה: A [ c 1 c 2 ⋮ c k ] = v {\displaystyle A{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}=v} אז v = A [ c 1 c 2 ⋮ c k ] = c 1 v 1 + . . . + c k v k ∈ span S {\displaystyle v=A{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}=c_{1}v_{1}+...+c_{k}v_{k}\in {\text{span}}S}
הכלה מכיוון ב':
נניח כי v ∈ span S {\displaystyle v\in {\text{span}}S} אז קיימים c 1 , . . , c k ∈ F {\displaystyle c_{1},..,c_{k}\in \mathbb {F} } כך ש- v = c 1 v 1 + . . . + c k v k {\displaystyle v=c_{1}v_{1}+...+c_{k}v_{k}} כלומר A [ c 1 c 2 ⋮ c k ] = v {\displaystyle A{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}=v} ולכן [ c 1 c 2 ⋮ c k ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}} מהווה פתרון של מערכת המשוואות A x = v {\displaystyle Ax=v}
דוגמה 1:
האם [ 1 2 3 ] ∈ s p a n { [ 0 1 2 ] , [ 2 2 2 ] } {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}}\right]\in span\left\{\left[{\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}2\\2\\2\end{array}}\right]\right\}} ?
כן, מפני שקיים פתרון למשוואה: [ 0 2 | 1 1 2 | 2 2 2 | 3 ] → [ 1 0 | 1 0 1 | 1 2 0 0 | 0 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}0&2&|&1\\1&2&|&2\\2&2&|&3\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccc}1&0&|&1\\0&1&|&{\frac {1}{2}}\\0&0&|&0\end{array}}\right]} אזי קיים פתרון המערכת { [ 1 1 2 0 ] + [ 0 0 1 ] t | t ∈ R } {\displaystyle \left\{\left[{\begin{array}{c}1\\{\frac {1}{2}}\\0\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right]t|\ t\in \mathbb {R} \right\}}
לחילופין, ניתן היה לרשום a [ 0 1 2 ] + b [ 2 2 2 ] = [ 1 2 3 ] {\displaystyle a\left[{\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{c}2\\2\\2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}}\right]} כלומר
{ 2 b = 1 a + b = 2 2 a + 2 b = 3 {\displaystyle {\begin{cases}2b=1\\a+b=2\\2a+2b=3\end{cases}}}
נקבל כי a = 1 , b = 1 2 {\displaystyle a=1,\ b={\frac {1}{2}}}
דוגמה 2: תהי A = [ 1 0 − 1 − 2 1 0 3 − 2 1 ] {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&-1\\-2&1&0\\3&-2&1\end{array}}\right]} . מצא מטריצה כך ש- s p a n ( v 1 , v 2 , v 3 ) = { x ∈ R 3 | A x = 0 } {\displaystyle span(v_{1},v_{2},v_{3})=\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}|Ax=0\right\}}
v 1 ∈ span { v 2 , v 3 } {\displaystyle v_{1}\in {\text{span}}\left\{v_{2},v_{3}\right\}} מפני ש- − 2 [ 0 1 − 2 ] + ( − 1 ) [ − 1 0 1 ] = [ 1 − 2 3 ] {\displaystyle -2\left[{\begin{array}{c}0\\1\\-2\end{array}}\right]+(-1)\left[{\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\-2\\3\end{array}}\right]} ואנו רוצים למצוא את קבוצת הפתרונות ששווה לאפס [ 0 − 1 1 0 − 2 1 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 0 0 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}0&-1&\\1&0&\\-2&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccc}0\\0\\0\end{array}}\right]}
מאחר ש- A v = v 1 c 1 + ⋯ + c n v n {\displaystyle Av=v_{1}c_{1}+\dots +c_{n}v_{n}} נקבל את שתי השוואות :
[ x 1 x 2 x 3 ] [ − 1 0 1 ] = { − x 1 + x 3 = 0 x 1 = x 3 {\displaystyle [x_{1}\ x_{2}\ x_{3}]\left[{\begin{array}{cccc}-1\\0\\1\end{array}}\right]={\begin{cases}-x_{1}+x_{3}=0\\x_{1}=x_{3}\end{cases}}}
וגם [ x 1 x 2 x 3 ] [ 0 1 − 2 ] = { x 2 − 2 x 3 = 0 x 2 = 2 x 3 {\displaystyle [x_{1}\ x_{2}\ x_{3}]\left[{\begin{array}{cccc}0\\1\\-2\end{array}}\right]={\begin{cases}x_{2}-2x_{3}=0\\x_{2}=2x_{3}\end{cases}}}
על כן נקבל כי המקדמים של הנעלים הינם { x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 2 ∗ 1 = 2 x 3 = 1 {\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=1\\x_{2}=2x_{3}=2*1=2\\x_{3}=1\end{cases}}} כלומר [ 1 2 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1\\2\\1\end{array}}\right]}
![{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&-1\\-2&1&0\\3&-2&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260401209720af57e489d45ac6221ea7768eee95)
. מצא מטריצה כך ש-
מפני ש-![{\displaystyle -2\left[{\begin{array}{c}0\\1\\-2\end{array}}\right]+(-1)\left[{\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\-2\\3\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac940889e40a7ed6ea6776a965668eafd21c543a)
ואנו רוצים למצוא את קבוצת הפתרונות ששווה לאפס ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}0&-1&\\1&0&\\-2&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccc}0\\0\\0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d625f59e06a1e69dbd52db287300da341c40c8)
נקבל את שתי השוואות :
![{\displaystyle [x_{1}\ x_{2}\ x_{3}]\left[{\begin{array}{cccc}-1\\0\\1\end{array}}\right]={\begin{cases}-x_{1}+x_{3}=0\\x_{1}=x_{3}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ff61de04417ec9c7e5d012dfd3bfc769c4e7b9)
![{\displaystyle [x_{1}\ x_{2}\ x_{3}]\left[{\begin{array}{cccc}0\\1\\-2\end{array}}\right]={\begin{cases}x_{2}-2x_{3}=0\\x_{2}=2x_{3}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af82daa31929917384883396beb1de13e1e8104f)
כלומר ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1\\2\\1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3214bfe478bf89b008792dd25f914b5bb5556380)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}}\right]\in span\left\{\left[{\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}2\\2\\2\end{array}}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb08784b2294a7621a90906dd0d4f1325a8caf7)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}0&2&|&1\\1&2&|&2\\2&2&|&3\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccc}1&0&|&1\\0&1&|&{\frac {1}{2}}\\0&0&|&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c59b29639c7123ed42c96c4b1001e73ac300781)
![{\displaystyle \left\{\left[{\begin{array}{c}1\\{\frac {1}{2}}\\0\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right]t|\ t\in \mathbb {R} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559fade7d7973e4c5cbc987080ad6d4a0e3861c3)
![{\displaystyle a\left[{\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{c}2\\2\\2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2683cf630f479dbf0ffc9533568331db048ccdd3)
