אלגברה לינארית/מרחב העמודות, השורות והאפס

בחלק זה נרענן ונחדד מושגים אשר הסברנו אום באופן פשטני בפרק פעולות במרחב R^n

הגדרה 1: מרחב השורות של המטריצה תהי המטריצה $A\in \mathbb {F} ^{m\times n}$ אז מרחב השורות של A זהו המרחב הנפרש ע"י שורות המטריצה. אם נסמן ב-$R$ את שורות המטריצה, אזי $R_{1}(A),R_{2}(A),\dots ,R_{m}(A)$ הן שורות המטריצה $A$ ומרחב השורות הוא $R(A)={\mbox{span}}\{R_{1},R_{2},\dots ,R_{m}\}$. מתוך תכונת כפל מטריצות והעובדה ש- span זה בעצם כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים, אפשר לתאר את המרחב גם בצורה הבאה: $\{vA|v\in \mathbb {F} ^{1\times m}\}$ או $\{A^{t}v|v\in \mathbb {F} ^{m}\}$

הגדרה 2: מרחב העמודות של המטריצה תהי המטריצה $A\in \mathbb {F} ^{m\times n}$ אז מרחב העמודות של A הוא המרחב הנפרש ע"י עמודות המטריצה. אם נסמן ב-$C$ את עמודות המטריצה, אזי $C_{1}(A),C_{2}(A),\dots ,C_{n}(A)$ הן עמודות המטריצה A ומרחב העמודות הוא $C(A)={\mbox{span}}\{C_{1},C_{2},\dots ,C_{n}\}$. מתוך תכונת כפל מטריצות והעובדה ש- span זה בעצם כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים, אפשר לתאר את המרחב גם בצורה הבאה: $\{Av|v\in \mathbb {F} ^{n}\}$ . נראה כי מימד מרחב העמודות הוא תמיד מספר המשתנים התלויים במערכת $Ax=0$ (ראה מרחב האפס והמשפט אחריו). הגדרה 3: מרחב האפס מרחב האפס הוא מרחב כל הוקטורים שמאפסים את מטריצה $A$ כלומר, $N(A)=\{v\in \mathbb {F} ^{n}|Av=0\}$ . משפט 1: מימד מרחב האפס הוא מרחב העמודות (קבוצת הפתרונות הפורשים מטריצה הם קבוצת העמודות של המטריצה) נראה כי מימד מרחב האפס הוא תמיד מספר המשתנים החופשיים במערכת $Ax=0$ . הוכחה: כידוע, תמיד מספר המשתנים התלויים + מספר המשתנים החופשיים = מספר העמודות ולכן מתקבל: $\dim C(A)+\dim N(A)=n$

תרגיל 1: תהי המטריצה ${\begin{bmatrix}1&0&-1\\-2&1&0\\3&-2&1\end{bmatrix}}$ מצאו מטריצה כך ש-$span(v_{1},v_{2},v_{3})=\{x\in \mathbb {R} |Ax=0\}$

מאחר ש-$v_{3}\in span\{v_{1},v_{2}\}$ (בגלל ש-${\begin{bmatrix}1\\-2\\3\end{bmatrix}}=-2{\begin{bmatrix}0\\1\\-2\end{bmatrix}}+(-1){\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}$ על כן נפתור את מערכת המשוואות $Ax=0$ עבור $v_{1},v_{2}$ גרידא. לפי כפל מטריצה בווקטור $Av=v_{1}c_{1}+\dots +v_{n}c_{n}$ ${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}}=-x_{1}+x_{3}=0$ על כן אחרי הכפלה נקבל $x_{1}=x_{3}$ עבור $v_{2}$ נקבל את המערכת ${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\\-2\end{bmatrix}}=x_{2}-2x_{3}$ לכן אחרי הכפלה נקבל $x_{2}=2x_{3}$ קבלנו כי המקדמים הינם $x_{1},\ x_{2}=2,x_{3}=x_{1}=1$ כלומר $v={\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}}$

משפט 2: $\dim C(A)=\dim R(A)$