אלגברה לינארית/תתי מרחב

תתי-מרחב

עריכה

הגדרה 7.2: תת מרחב

יהי   מ"ו מעל  . יהי   קבוצה לא ריקה המקיים  .

יהיה   תת מרחב של   (מסומן  ) אם"ם:

  1.   - אפס של   נכלל בתת הקבוצה  .
  2.   סגורה לחיבור כלומר  
  3.   סגורה לכפל כלומר  

ובקיצור  


הוכחה: אם   תת-שדה, התכונה הראשונה מתקיימת כי   והשניה בגלל הסגירות. נוכיח את הכיוון השני:

תכונות החילוף, הפילוג, הקיבוץ והנייטרליות לכפל בסקלר נובעות במישרין מקיומן ב-   . נוכיח   , קיום נגדי, וסגירות לחיבור ולכפל בסקלר: יהי   (קיים כזה, כי  ). ניקח  , ונקבל   . אם ניקח   נקבל   . יהיו   . אם ניקח   נקבל   , ואם ניקח   נקבל   לכן,   מ"ו מעל   , והוא תת-מרחב של   .


 

דוגמאות

עריכה
  1. לכל   שדה ו-  מרחב וקטורי, קיימת תת קבוצה,   שהינו תת מרחב של  .
  2. לכל   שדה ו-  מרחב וקטורי קיימת תת הקבוצה   שהינה תת מרחב של V.
  3. לכל   והמרחב הווקטורי  , נוכל להגדיר תת קבוצה של   . מפני שחיבור וכפל ב-  נותנים סגירות עבור חיבור וכפל.
  4. לכל   ומרחב וקטורי של טורי חזקות פורמליים   נוכל להגדיר   מפני ש   ולכן  .

קבוצת הפתרונות של מטריצה הומוגנית היא תת מרחב

עריכה

תהי מטריצה   עם מקדמים בשדה  . נתונים   (וקטורים), ו-  , סקלר, אז מתקיימות התכונות הבאות:

  1. חוק הפילוג חל על כפל מטריצה בוקטורים:  .
  2. חוק החילוף  

אזי כאשר   (קבוצת הפתרונות של מטריצה הומוגנית) הוא תמיד תת מרחב של   מפני ש:

  1.   .
  2.   - יהי   אז   וגם   ומכאן  .
  3.  - יהי   ו-  אז   מכאן  .

דוגמות

עריכה
  1. תהי   אז   הוא תת מרחב
  2.   אז  
  3. יהי   אז   תת מרחב.

תרגילים

עריכה