אנליזה נומרית/גזירה נומרית/גזירה באמצעות הפרשים אחוריים

גזירה באמצעות הפרשים אחוריים

$\ hf'(x_{i})=hDf(x_{i})=\ln Ef(x_{i})=\ln(1-\nabla )^{-1}f(x_{i})=$

$\ =-\ln(1-\nabla )f(x_{i})=\left[\nabla +{\nabla ^{2} \over 2}+{\nabla ^{3} \over 3}+{\nabla ^{4} \over 4}+...\right]f(x_{i})$

בדומה לפיתוחים הנ"ל, נמצא נוסחאות מקורבות לנגזרות:

נגזרת ראשונה

קירוב לינארי:

$\ f'(x_{i})\approx {1 \over h}\nabla f(x_{i})={1 \over h}[f(x_{i})-f(x_{i-1})]$

קירוב ריבועי:

$\ f'(x_{i})={f(x_{i-2})-4f(x_{i-1})+3f(x_{i}) \over 2h}$

נגזרת ראשונה בנקודת ביניים

$\ hf'(x_{0}+\theta h)=hDE^{\theta }f(x_{0})=-\ln(1-\nabla )(1-\nabla )^{-\theta }f(x_{0})=$

$\ =\left[\nabla +{\frac {\nabla ^{2}}{2}}+{\frac {2\nabla ^{3}}{3!}}+...\right]\left[1+\theta \nabla +{\frac {\theta (\theta +1)}{2}}\nabla ^{2}+...\right]f(x_{0})$

$\ \Rightarrow \quad f'(x_{0}+\theta h)={1 \over h}\left[\nabla +{\frac {2\theta +1}{2}}\nabla ^{2}+{\frac {3\theta ^{2}+6\theta +2}{6}}\nabla ^{3}+...\right]f(x_{0})$

נגזרת שנייה

$\ h^{2}f''(x_{i})\ =\ \left[-\ln(1-\nabla )\right]^{2}\ =\ \left[\nabla ^{2}+\nabla ^{3}+{11 \over 12}\nabla ^{4}+{5 \over 6}\nabla ^{5}+{137 \over 180}\nabla ^{6}+...\right]f(x_{i})$

$\ f''(x_{i})={1 \over h^{2}}[f(x_{i-2})-2f(x_{i-1})+f(x_{i})]$

נגזרת שנייה בנקודת ביניים

$\ f'(x_{0}+\theta h)={1 \over h^{2}}\left[\nabla +{\frac {\nabla ^{2}}{2}}+{\frac {2\nabla ^{3}}{3!}}+...\right]\left[\nabla +{\frac {2\theta +1}{2}}\nabla ^{2}+{\frac {3\theta ^{2}+6\theta +2}{6}}\nabla ^{3}+...\right]f(x_{0})$

$\ \Rightarrow \quad f''(x_{0}+\theta h)={1 \over h^{2}}\left[\nabla ^{2}+(\theta +1)\nabla ^{3}+{\frac {6\theta ^{2}+18\theta +11}{12}}\nabla ^{4}+...\right]f(x_{0})$