אנליזה נומרית/גזירה נומרית/גזירה באמצעות הפרשים קדמיים

נמצא שני קירובים ראשונים על פי הפרשים קדמיים באמצעות הקשרים בין האופרטורים שפיתחנו.

$\ hf'(x_{i})=hDf(x_{i})=\ln Ef(x_{i})=\ln(1+\Delta )f(x_{i})=\left[\Delta -{\Delta ^{2} \over 2}+{\Delta ^{3} \over 3}-{\Delta ^{4} \over 4}+...\right]f(x_{i})$

נגזרת ראשונה

קירוב לינארי:

$\ hf'(x_{i})\approx \Delta f(x_{i})=f(x_{i+1})-f(x_{i})\quad \Rightarrow \quad f'(x_{i})={f(x_{i+1})-f(x_{i}) \over h}$

קירוב ריבועי:

$\ hf'(x_{i})=\left(\Delta -{\Delta ^{2} \over 2}\right)f(x_{i})=(f(x_{i+1})-f(x_{i}))-{1 \over 2}(f(x_{i+2})-2f(x_{i+1})+f(x_{i}))$

$\ \Rightarrow f'(x_{i})={-f(x_{i+2})+4f(x_{i+1})-3f(x_{i}) \over 2h}$

קירוב משולש:

$\ f'(x_{i})={\frac {2f(x_{i+3})-9f(x_{i+2})+18f(x_{i+1})-11f(x_{i})}{6h}}$

נגזרת ראשונה בנקודת ביניים

נפתח תחילה ביטוי עבור הנגזרת:

$\ f'(x_{i}+\theta h)=DE^{\theta }f(x_{i})=D\left[1+\theta \Delta +{\tfrac {\theta (\theta -1)}{2}}\Delta ^{2}+...\right]f(x_{i})$

נשתמש בקשר:

$\ D={1 \over h}\ln(1+\Delta )={1 \over h}\left(\Delta -{\tfrac {\Delta ^{2}}{2}}+{\tfrac {\Delta ^{3}}{3}}-...\right)$

ונקבל:

$\ f'(x_{i}+\theta h)={1 \over h}\left(\Delta -{\tfrac {\Delta ^{2}}{2}}+{\tfrac {\Delta ^{3}}{3}}-...\right)\left[1+\theta \Delta +{\tfrac {\theta (\theta -1)}{2}}\Delta ^{2}+...\right]f(x_{i})=$

$\ ={1 \over h}\left[\Delta +\Delta ^{2}\left(\theta -{\tfrac {1}{2}}\right)+\Delta ^{3}(...)+...\right]f(x_{i})$

נגזרת שנייה

$\ h^{2}f''(x_{i})=(hD)^{2}f(x_{i})=(\ln E)^{2}f(x_{i})=[\ln(1+\Delta )]^{2}f(x_{i})=$

$\ =\left[\Delta -{\Delta ^{2} \over 2}+{\Delta ^{3} \over 3}-{\Delta ^{4} \over 4}+...\right]^{2}f(x_{i})=$

$\ =\left[\Delta ^{2}-\Delta ^{3}+{11 \over 12}\Delta ^{4}-{5 \over 6}\Delta ^{5}+{137 \over 180}\Delta ^{6}+...\right]f(x_{i})$

קירוב לינארי:

$\ \Rightarrow f''(x_{i})\approx {1 \over h^{2}}\Delta ^{2}f(x_{i})={1 \over h^{2}}[f(x_{i+2})-2f(x_{i+1})+f(x_{i})]$

קירוב ריבועי:

$\ \Rightarrow f''(x_{i})\approx {1 \over h^{2}}(\Delta ^{2}-\Delta ^{3})f(x_{i})={1 \over h^{2}}[f(x_{i+3})-3f(x_{i+2})+3f(x_{i+1})-f(x_{i})]$