הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/רציפות גוררת אינטגרביליות

משפט

תהי $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ רציפה בקטע, אזי $f$ אינטגרבילית בקטע.

הוכחה

מכיוון ש-$f$ רציפה בתוך קטע סגור, לפי משפט קנטור, $f$ רציפה בו במידה שווה.

כעת, יהי $\varepsilon >0$. קיים עבורו $\delta >0$ כך ש- $|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<{\frac {\varepsilon }{(b-a)}}$. אם נסמן ב-$\omega$ להיות התנודה בקטע $I\subseteq [a,b]$, נקבל ש-$\omega (f,I)\leq {\frac {\varepsilon }{(b-a)}}$.

עבור כל חלוקה $P$ שלה יש עדינות קטנה מ-$\lambda$ נקבל:

$\omega (f,P)=\sum _{i=1}^{n}\omega (f,[x_{i-1},x_{i}])\cdot \Delta \!x_{i}\leq \!\sum _{i=1}^{n}{\frac {\varepsilon }{(b-a)}}\Delta \!x_{i}=\varepsilon$

ולכן קרטיריון דארבו לאינטרגביליות מתקיים.

QED