- משפט
אם
פונקציה רציפה בקטע הסגור
, אזי היא רציפה במידה שווה בקטע זה.
- הוכחה
נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה הסדרתית של רציפות: פונקציה
היא רציפה בנקודה
אם ורק אם לכל סדרה
מתקיים
. כלומר, תמונות אברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.
תהי
פונקציה רציפה בקטע הסגור
. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים
כך שלכל
קיימות שתי נקודות
עבורן
, אבל
.
נביט כעת בסדרה
. כל אברי הסדרה שייכים לקטע
, כלומר זוהי סדרה חסומה. על־פי משפט בולצאנו־ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת־סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר
.
כעת נוכיח כי
, כלומר אם אנו לוקחים מהסדרה השניה תת־סדרה שלאבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.
יהי
. עלינו למצוא
כך שלכל
יתקיים
.
ראשית נשים לב כי מהתכנסות
נובע שקיים
כך שלכל
מתקיים
. קיים גם
טבעי גדול דיו כך שיתקיים
לכל
, וקיים
כך שלכל
מתקיים
(כלומר, החל ממקום מסוים בתת־הסדרה, האינדקסים של מיקום אברי תת־הסדרה בתוך הסדרה המקורית עוברים את המספר
).
נבחר
ואז לכל
יתקיים
![{\displaystyle {\bigl |}y_{n_{k}}-x_{0}{\bigr |}\leq {\bigl |}y_{n_{k}}-x_{n_{k}}{\bigr |}+{\bigl |}x_{n_{k}}-x_{0}{\bigr |}<{\frac {1}{n_{k}}}+{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc43758977732e3c96828730347d5c24a71cba3)
המעבר הראשון הוא אי־שוויון המשולש. המעבר השני נובע מהתכנסות
ומהתכונה שעל פיה בנינו את הסדרות
. המעבר השלישי נובע מבחירת
גדול דיו.
הראנו כי
. כעת מרציפות
נובע
. מאריתמטיקה של גבולות נקבל
, וזו סתירה לכך שמתקיים
לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה.