הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מכפלה

משפט

אם אזי .

הוכחה

יהי . נראה שקיים כך שלכל מתקיים .

מהנתונים על הגבולות נסיק כי:

חסומה וקיים כך שמתקיימים בו זמנית המקרים: לכל וגם , עבור כלשהו.

קיים כך שלכל מתקיים .

קיים כך שלכל מתקיים .

נבחר . לפיכך,