אם lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} אזי lim x → a c ⋅ f ( x ) = c ⋅ L {\displaystyle \lim _{x\to a}c\!\cdot \!f(x)=c\!\cdot \!L} כאשר c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } .
יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} .
אם c = 0 {\displaystyle c=0} הטענה מיידית: | 0 ⋅ f ( x ) − 0 ⋅ L | = 0 < ε {\displaystyle {\Big |}0\!\cdot \!f(x)-0\!\cdot \!L{\Big |}=0\ {\color {red}<}\ \varepsilon }
אם c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} נראה שקיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } מתקיים | c ⋅ f ( x ) − c ⋅ L | < ε {\displaystyle {\Big |}c\!\cdot \!f(x)-c\!\cdot \!L{\Big |}<\varepsilon } .
מהגדרת הגבול קיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } מתקיים | f ( x ) − L | < ε | c | {\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{|c|}}} .
◼ {\displaystyle \blacksquare }
