הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מנה

משפט

אם $\lim _{x\to a}f(x)=L,\lim _{x\to a}g(x)=M\neq 0$ אז $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to a}f(x)}{\lim \limits _{x\to a}g(x)}}={\frac {L}{M}}$.

הוכחה

יש להראות כי לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|<\varepsilon$.

$$\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|=\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{g(x)}}+{\frac {L}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|\ {\color {red}\leq }\ \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{g(x)}}\right|+\left|{\frac {L}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|={\frac {|M|\!\cdot \!|f(x)-L|+|L|\!\cdot \!|g(x)-M|}{|M|\!\cdot \!|g(x)|}}$$

קיימים $0<A<B$ כך שמתקיימים המקרים $|L|<B$ וגם $A<|M|<B$.

$$\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|\ {\color {red}\leq }\ {\frac {|M|\!\cdot \!|f(x)-L|+|L|\!\cdot \!|g(x)-M|}{|M|\!\cdot \!|g(x)|}}\ {\color {red}<}\ {\frac {B}{A}}\cdot {\frac {|f(x)-L|+|g(x)-M|}{|g(x)|}}$$

• קיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ מתקיים $|g(x)|>A$ או ${\frac {1}{|g(x)|}}<{\frac {1}{A}}$.
• קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<{\frac {A^{2}}{2B}}\varepsilon$.
• קיים $\delta _{3}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{3}$ מתקיים ${\bigl |}g(x)-M{\bigr |}<{\frac {A^{2}}{2B}}\varepsilon$.

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$. לפיכך,

$$\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|\ {\color {red}\leq }\ {\frac {|M|\!\cdot \!|f(x)-L|+|L|\!\cdot \!|g(x)-M|}{|M|\!\cdot \!|g(x)|}}\ {\color {red}<}\ {\frac {B}{A}}\cdot {\frac {|f(x)-L|+|g(x)-M|}{|g(x)|}}\ {\color {red}<}\ {\frac {B}{A}}\cdot {\frac {1}{A}}\cdot \left({\frac {A^{2}}{2B}}\varepsilon +{\frac {A^{2}}{2B}}\varepsilon \right)=\varepsilon$$

$\blacksquare$